写真の問題の最小公倍数の求め方について。 写真の(2)の最小公倍数を問う問題で、 はみ出した素因数を

写真の問題の最小公倍数の求め方について。

写真の(2)の最小公倍数を問う問題で、
はみ出した素因数を最大公約数にかければ求められるから、最大公約数4にはみ出した3つの2と、5と7をかけて1120と答えたのですが、間違っていました。写真の解答をみると、2を2つと5と7をかけていました。ここがどうしてかよく分かりまはせんでした。教えてほしいです。

質問者からの補足コメント

• 2枚目です。

  
    補足日時：2020/03/09 16:26

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/10 13:09

＃２です　別の表現で説明いたします

求める最小公倍数は16に何かの数字（素因数）を掛け算したものですから
最小公倍数＝2x2x2x2ｘ〇ｘ〇x〇・・・です　ただし〇の個数は現時点では不明ですから適当に書きました
ここから言えることは　最小公倍数のなかには2x2x2x2(2の掛け算が４つ）が存在するということです…①

同様に最小公倍数は　28に何かを掛け算したものですから
最小公倍数=2x2x7x●x●x●・・・です
これからいえることは、最小公倍数の中には2x2とx7が存在ということです…②

さらに、最小公倍数は40に何かを掛け算したものですから
最小公倍数=2x2x2x5x△x△ｘ△・・・です
これからいえることは、最小公倍数の中には2x2x2とx5が存在ということです…③

結果、①②③を合わせて言えることは　最小公倍数の中には2が4個と７が1個と5が1個存在するということです

５と７が１こずつ存在というのには疑問はないことでしょう
2については、まず②を見ると最小公倍数の中には少なくとも２が２こ存在ということです
次に③をみると２は少なくとも3個存在ということになります
ということは両者あわせた結論は　最小公倍数の中に少なくとも２は3個存在となります…④
さらに①を見てみると　2は4個存在していますから④と合わせた結論は２が4個存在となりますよね

つまり①より　「最小公倍数の中には２が4個存在」というのが
②の「２が2個存在」、③の「２が3個存在」ということをカバーしているということです
ゆえに、おなじ素因数２が複数個ある場合は、一番多く同種の素因数をもつ①に着目して
２は4個と考えてあげればよいということになります

No.7 回答者： konjii 回答日時： 2020/03/10 08:10

例えば

16=2×2×2×2
28=2×2×7
40=2×2×2×5
196＝2ⅹ2ⅹ7ⅹ7
200＝2ⅹ2ⅹ2ⅹ5ⅹ5
の場合、素因数列2ⅹ2ⅹ2ⅹ2は2ⅹ2ⅹ2と2ⅹ2を含むので2ⅹ2ⅹ2ⅹ2
　　　　素因数列5ⅹ5は5を含むので5ⅹ5
　　　　素因数列7ⅹ7は７を含むので7ⅹ7
よって、この場合の最小公倍数は2ⅹ2ⅹ2ⅹ2ⅹ5ⅹ5ⅹ7ⅹ7＝19600

No.6 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/03/09 23:15

16=2×2×2×2

28=2×2×7
40=2×2×2×5
のようにつめて書いていないのに注目してください。
同じ数の素因数の列をつくるように並べて表示します。
素因数2の下には素因数2がくるように、素因数5の列、素因数7の列のようにです。
そして、列をそのまま一番下に書きます。
16=2×2×2×2
28=2×2　　　　　　　　　×7
40=2×2×2　　　×5
　　2×2×2×2　×5　×7
こうやって素因数の最大個数を求めています。
素因数2は16が4個、28が2個、40が3個。最大個数は4個です。2×2×2×2
素因数5は40が1個だけ。最大個数は1個です。×5
素因数7は28が1個だけ。最大個数は1個です。×7
なので、2×2×2×2×5×7を表みたいにして説明したのが解答です。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/09 20:53

各素数が掛けてある回数について

最小の個数を集めたものが最大公約数、
最大の個数を集めたものが最小公倍数になります。

３個以上の数の最大公約数を求めるときは、
最大公約数については、２個の数のときと同じように
すべての数に共通の素因数を見つければよいのですが、

最小公倍数については、２個以上の数に共通の素因数は
かぶってるとみなして、はみ出したほうには入れません。　←ここがカギ

質問の(2)の場合、
16 と 40 の間で 2 が3個かぶっているので、これは共通とみなして
かぶっているものは 2×2×2、はみ出してるものは 2×5×7 で、
最小公倍数は 2×(2×2×2)×5×7 = 560 です。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/03/09 19:10

こういう問題は指数表現で書けば一目瞭然なんですが。

16=2⁴
28=2²･7¹
40=2³･5¹

各因数の指数を比べて、賄える大きさの指数を求めれば良いだけです。

2と言う因数：指数は4,2,3だから4で有れば全て賄える
7と言う因数：指数は1だけだから1で有れば全て賄える
5と言う因数：指数は1だけだから1で有れば全て賄える

∴最小公倍数=2⁴･7¹･5¹=16×7×5=560

No.3 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2020/03/09 17:54

すみません。

詫びきれる､は割り切れる、の間違いです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/09 17:54

16と28の２つをまず見ます

それぞれの素因数を見て　１６と28の最小公倍数は、両方に共通にある2x2と16にしかない2x2と28にしかない７をかけてあげたもの
2x2x2x2x7（＝112)となりますよね

次にこの(2x2)x(2x2)x7(=112)と40=2x2x2x5を比べます
両者に共通な　2x2x2と　112にしかない2x7と　40にしかない5を取り出して
最小公倍数は (2x2x2)x2x7x5=560と求められます

16,28,40を同時に考えるなら、
共通なものが2x2
28にしかないものが7，
40にしかないものが5
そして　16にしかないものが　2x2と考えます
すると、40にある２一つは、40にしかないと２とは言えないのでカウントする必要がないのです
このように、はみだすという表現を、～にしかない素因数　という表現に変えて考えてみてはいかがでしょうか

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。すると、～ないのです。の部分がよく分かりませんでした。

お礼日時：2020/03/10 00:00

No.1 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2020/03/09 17:53

最大公約数からはみ出した素因数を全てかけるのではありません。

はみ出したもののうち、それぞれから最大個数を選んでかけるだけです。

例えば、素因数の2について、16では2こ、28では0こ、40では1こ、はみ出しています。最大は2こですので、2こをかけたのです。

最大公約数にからめて解説されているので少しややこしくなっているようですが、求めた最小公倍数をよく見ると、2が4こ、5が1こ、7が1こ、をかけ合わせたものです。実は､これは元の数に含まれる素因数について最大個数であるものを選んでかけたものになっています。こうしておけば、どの素因数についても元の数以上になりますから、最小公倍数は元のどの数で割っても詫びきれることになるのです。