No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1 です。
その本(山本義隆「新・物理入門」)を持っているので確認しました。「速度に比例した空気抵抗がある場合の自由落下」が「終端速度」に落ち着く話ですね。
運動方程式
m*dv/dt = mg - ρv
→ a(t) = g - (ρ/m)v = g - λv (ρ/m = λ)
として微小時間 Δt ごとの「加速度の漸化式」を作っているので、議論としては #1 に書いたものでよいはずです。
原著では、上の運動方程式の「空気の抵抗係数:ρ」を「k」で書いてあるので、ひょっとすると「漸化式」の k と「抵抗係数」を混同して分かりづらくしているのかもしれません。
その下の「終端速度」を求めるところで、再び
v(t) → v(∞) = g/λ = mg/k
と「空気の抵抗係数:k」を使った式になっていて、上の漸化式の「t = kΔt」としているときの「k」と紛らわしいですね。
漸化式の方を
t = jΔt
とでもして
a(jΔt) = g - λv(jΔt)
として、j → j+1 にしたものを
a((j+1)Δt) = g - λv((j+1)Δt)
と書けば
a((j+1)Δt) - a(jΔt) = -λv((j+1)Δt) + λv(jΔt) = -λ[v((j+1)Δt) - v(jΔ)]
であり、Δt が十分小さければ
v((j+1)Δt) - v(jΔ) = a(jΔt) * Δt
ですから
a((j+1)Δt) - a(jΔt) = -λΔt*a(jΔt)
→ a((j+1)Δt) = (1 - λΔt)*a(jΔt)
という「公比:(1 - λΔt)」の「等比数列」としての「a(jΔt)」の漸化式が書けることになります。
「j」は単なる「第j項」を示す項番号であって、「抵抗係数:k」には全く関係ありません。
こんな説明で納得できますか?
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