扇形の公式

　扇形の面積の公式が複雑でわかりません。特に扇形の中心角の出し方がわかりません。教えてください。あと、忘れっぽいので覚え方も教えてください。冬休みが明日で終わってすぐに、テストがあります。困っています。

No.5 回答者： sankonorei 回答日時： 2005/01/06 16:47

Ｎｏ．３です。

弧の長さの求め方は中心角が与えられますので、円周（２πｒ）×中心角÷３６０度です。問題によって弧の長さが与えられる場合と、中心角が与えられる場合がありますので問題を見て、どの方法で解くのかを見極めましょう。

No.4 回答者： DoragonFang 回答日時： 2005/01/06 08:23

円の面積は　半径をrとするとπr^2(「^2」は２乗を表します）ですね。

扇形というのは、円を切り取ったものですから、ANo.2の方が書かれているように、扇形の中心角がθであれば、

扇形の面積＝円の面積×θ/全円周角
で求まります。
式を変形すると

扇形の面積/円の面積＝θ/全円周角・・・(1)

となり、円の面積と扇形の面積は、円周に対するθの分だけ、つまりθに比例していることが分かります。

丸いケーキを切り分けることを考えてください。例えば、６等分なら、３６０度の６分の１
つまり、６０度ですから、
1/6の扇形＝円の面積×60/360　＝円の面積×1/6

ですね。円の面積はπr^2なので、
＝πr^2×1/6

となります。

さて、ここで、扇形の円弧の長さがLとすると、

L＝円周×扇形の中心角／全円周角

ですよね。先ほどと同じです。
こちらも変形すると、

L/円周＝扇形の中心角θ／全円周角・・・(2)

であり、円弧Lは中心角θに比例することが分かります。

(1)式と(2)式は右辺が同じなので、合成すると、

扇形の面積/円の面積＝θ/全円周角＝L/円周・・・(3)

となり、扇形の面積は円周の長さに対する円弧の長さに比例するわけです。


円周は円の直径×π ですから、半径で表すと 2r×π（普通は2πrと書きます）ですね。中心角をθとすると、

L=2πr×θ/全円周角

となります。
これを先ほどの式(3)に当てはめてみると、

L/2πr＝θ/全円周角＝A/πr^2
　(Aは扇形の面積）

となり、変形すると、

A=πr^2×L/2πr=1/2×rL

という公式が導き出されます。

三角形の面積の公式を覚えていますか？
　　三角形の面積＝底辺　　×高さ×1/2
　　扇形の面積　＝円弧長さ×半径×1/2
同じ形をしているので、覚えやすいのではないかと思いますが？

中心角については、上の式で分かりますよね。
円弧の長さまたは扇形の面積に比例するんですよね。

θ/全円周角＝円弧の長さ/円周＝扇形の面積/円の面積

半径r と円弧の長さL がわかっていれば、

θ/３６０度＝L/2πr
θ＝３６０度×L/2πr　（全円周角を３６０度とした場合）

で、求まります。

どことどこが比例するのか、図を書いて覚えればわかりやすいと思います。
試験、頑張ってください。

No.3 回答者： sankonorei 回答日時： 2005/01/06 03:40

簡単な扇形の面積の求め方は、弧の長さ×半径÷２

さて、質問者が苦手な中心角を利用した面積の求め方となりますが、弧の長さ÷円周×３６０度＝中心角、又　弧の長さ÷円周×円の面積＝扇形の面積　そして、中心角÷３６０度×円の面積＝扇形の面積　となりますが、中学一年生の君は教科書をよく読むことが先決です。全体の割合をよく考えれば難しいものではありません。クリスマスケーキを切って分けることを想定してみましょう。課題テスト頑張ってくださいね。　

この回答への補足

弧の長さの求め方はなんですか？

補足日時：2005/01/06 11:11

No.2 回答者： proto 回答日時： 2005/01/05 23:56

もし中学生だったら、弧度法習ってないかも知れないので度数法で書くと

まず考え方としては、半径が同じ円の面積を考えて、それを何分の一かすればいいです

半径rの円の面積が
　　2πr
で、例えば中心角が60°だと思って計算してみると
面積が60°/360°=1/6になるので
扇形の面積は
　　2πr/6=πr/3

中心角がθ(°)の時は
さっきの場合で60°をθに置き換えればいいので
　　2πr*θ/360=rθ*π/180
ですね

中心角の求め方は
面積をSとすると、さっき計算した公式で
　　S=rθ*π/180
方程式を解く要領で、θについて解いて
　　θ=S*180/rπ
にrとSを代入したらokです

あと、半径と弧の長さから求めるバージョンもあると思いますが
それも、同じ半径の円の周の長さを計算して
それを何分の一かした式を変形すればいいと思います
まぁ、弧の長さから求める場合は難しく考えなくても
割合から簡単に求まるとは思いますが

No.1 回答者： rankle 回答日時： 2005/01/05 22:59

　半径がｒ、中心角がθの扇形

　　　弧長　ｌ＝ｒθ
　　　面積　S＝1/2ｒ^2θ＝1/2ｒｌ

　これが一般的な扇形の面積の公式です。

　つまり、中心角を求めるにはｒ（半径）とｌ（弧長）が分っている必要があります。
　その2つが分っていればθ＝l/rで求められます。
　例えば、半径が2で弧長が2なら
　　θ＝2*2で中心角は4となります。