この不等式を立てる意味がわかりません。また、2πrhと2π(r＋h)hがここでは、何の面積を表すのか

この不等式を立てる意味がわかりません。また、2πrhと2π(r＋h)hがここでは、何の面積を表すのかわかりません。出来れば、教えて下さい

No.2 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/09/08 23:01

色の部分の面積を円でなく伸ばして長方形にしたとき、

2πrhは色の部分の内側の長さ2πrを横、hをたてにしたときの面積。
2π(r+h)hは色の部分の外側の長さ2π(r+h)を横、hをたてにしたときにの面積。
色の部分の面積は当然このふたつの面積の求め方の間になります。
ということかな。

色の部分の面積は
S(r+h)-S(r)
=π(r+h)²-πr²
=π(r+h+r)(r+h-r)
=π(2r+h)h
=2π(r+h/2)h
になって、円の半径にhの半分の長さをたした長さを半径とした円周の長さと幅hをかけた式で求まることがわかります。
これより
2πrh≦2π(r+h/2)h≦2π(r+h)h
2πrh≦S(r+h)-S(r)≦2π(r+h)h

この回答へのお礼

解説ありがとうございます！何とかわかりました！でも、はさみうちの原理は知りませんでした、

お礼日時：2020/09/08 23:23

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2020/09/08 23:05

写真の証明(と呼んでいいのかどうか分かりませんが)を読ませていただきましたが、要するに「各辺をhで割って」の次に書かれている不等式を導き出したいようですね。

これが出せればその次に書いてある「円の面積を半径で微分したものが円周の長さ」と言う意味の式が出せるので。


2πrhと言うのは半径rの円周を伸ばして直線にしてから、それを底辺(と呼んでいいか分かりませんが)として高さをhとした長方形の面積、2π(r+h)hも同様です。そして「図の赤い部分の面積はそれら二つの長方形の面積の間にある」と言う理屈からお目当ての不等式である「各辺をhで割って」の次の不等式を導いているようです。


最初の回答者が書いておられるように「結果を知っている前提で導いた人為的なもの」と言った印象は確かにありましたが、ここでは「半径rの円周の長さが2πr」と言う事を導くのが目的ではないので、これはこれでいいのかもしれないと思います。

この回答へのお礼

解説ありがとうございます！！

お礼日時：2020/09/08 23:24

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/09/08 22:44

その不等式は、結果を知っている前提での人為的なもののような感じがするけど、まぁ、「そういう不等式を立てれば、はさみうちの原理が使えて、めでたく極限値が求められる」といったもの。

2πrhは、「右の図の色の部分」のどこかを切って、薄い台形のように真っ直ぐに伸ばしたときの、「短い方の辺を『横の長さ』として長方形と見なしたときの面積」
2π(r+h)hは、「右の図の色の部分」のどこかを切って、薄い台形のように真っ直ぐに伸ばしたときの、「長い方の辺を『横の長さ』として長方形と見なしたときの面積」
（添付図参照）

だから、「右の図の色の部分」のどこかを切って、薄い台形のように真っ直ぐに伸ばしたときの面積は、上記の2つの間の大きさになる。

この回答へのお礼

図がとても理解しやすかったです！

お礼日時：2020/09/08 23:23