私は数学が苦手な文系大学生です。最近「地域分析」という本を読んでいるのですが、たびたび数式を「対数変換すると・・・」と言う風に話が進みます。対数変換をすることの意味がわからないので内容が理解できません。

まず、対数変換とは何なのか?対数変換を行なうと何がどのように変わるのでしょうか?
また、一般的に対数変換とはどのような目的で行なわれるのでしょうか?

ということを文系の学生にわかりやすく教えていただけないでしょうか。
対数変換の内容を理解していないため、質問が的を得ていないかもしれませんが、よろしくお願いします。(また、ここで説明できるような内容でなければ、その旨をお伝えください。)

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A 回答 (3件)

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する


ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

このように表現すると、正の数値で1以下の小数から
万や億などの非常に大きい値に散らばる数値サンプルを
整理したり表現するのに非常に便利です。

また、対数にしてグラフを作ると、上記のように非常に
大きな数(または0.00000・・・・のように非常に小さい数)
を限られた紙面上でプロットする事ができます。
もしそのプロットした結果が直線になった場合、
その直線の傾きでサンプルの近似式を導き出すこともできます。

具体的例を挙げると、身近なものではpH値。
これはある液体の単位量あたりどのくらい水素イオンが
含まれるかを対数表現したものです。
(厳密には、モル濃度で表した水素イオン濃度の逆数の常用対数)

まとめると、対数は小数から数万・億などの広範囲に散らばる
数値を整理するために使われる道具とお考えになられたら
良いと思います。
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 地域分析という本がどのような本かは知らないのですが、対数変換することについて答えたいと思います。


 自然科学分野(物理学や化学や工学等)において、実験を行うと相関式(関係式)が得られます。
 すべてではないのですが、y=Ax^B(AかけるxのB乗)のような式が得られることがあります。いわゆる指数関数というやつです。指数関数は、対数関数と関係があります。簡単に言えば、指数関数を変形したものが対数関数と思ってもらえば良いと思います。その逆も同じです。
 
 ここで対数というのは、logxなど言う形をしたものです。グラフの形は、記憶の忘却曲線を思い描いてください。日にち(x)が経てば、記憶量(y)がどんどん減っていきますね。

 y=Ax^Bの両辺に対数を取ると
 logy=log(Ax^B)
=logA+logx^B
=logA+Blogxと変形できます。
ここで、両対数グラフ用紙(縦軸も横軸も対数目盛りが打ってあります)に点を打っていきます。
 そうすると直線が引ける場合があります。この直線を引くことによって傾きや切片が分かります。このことから、
AやBを求めることができます。
 
 このようにy=Ax^Bという指数関数を対数変換することによって係数や指数A,Bを求めたりすることができるわけです。工学や理学等では、日常的に行われています。
 少し難しかったかもしれませんね。
 
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私は読書嫌いの人間ですので「地域分析」と言う本を読んだことがありません。


想像の域を出ませんが、分析と言うからには何かの相関を取っているものとして話を進めます。
関係がある2つの変数について対数を取ると指数部(何乗になっているか)が傾きになって現れます。(例えば正方形の辺の長さと面積の関係は2乗になっているので2、立方体の体積の場合は3といった感じ。)
あくまでも想像ですが(経済学の知識もありませんのでこのような統計が成り立つかも知りません。)、人口と生産高の対数の対数の傾きを比較すると、人口が2倍の場合、生産高が2倍で当たり前(この場合、対数の傾きは1)、人口が多い場合に生産性が高い(生産能力が上がる)場合などには傾きが1よりも大きくなります(はずです)。
こんな感じでしょうか?的外れだったらごめんなさい。
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参考URL:http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4431707506/ref=sr_aps_b_/249-2664474-6700334

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1.
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(a×a)×(a×a×a) = a^2 × a^3
よって、
a^5 = a^2 × a^3
つまり
a^(2+3) = a^2 × a^3

同様に
e^(logx + 1) = e^logx × e^1
です。

次に、
logx というのは、もともと
logx = 「xはeの何乗ですか?」の答え
です。
つまり、
e^logx = eの『「xはeの何乗ですか?」の答え』乗 = x
です。
わかりにくければ、対数の公式を使うのもよいでしょう。
e^logx = A
とでも置いてみて、両辺の自然対数を取ると
log(e^logx) = logA
logx・loge = logA
logx・1 = logA
logx = logA
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e^(logx + 1) = e^logx × e^1
 = x × e
 = ex

2.
>>>後の問題の解は(sinx+cosx)/(sinx-cosx)で終わっていいように思うのですが
おっしゃるとおりです。

>>>最後の変形はなぜこうなるのかわかりません。
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約分して
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こんにちは。

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よって、
a^5 = a^2 × a^3
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同様に
e^(logx + 1) = e^logx × e^1
です。

次に、
logx というのは、もともと
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です。
つまり、
e^logx = eの『「xはeの何乗ですか?」の答え』乗 = x
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最初の回答者です。
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たしかに、当初のご質問文に書かれていましたね。失礼しました。
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いずれ、前回回答と部分的に同じになります。
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t = cosθ
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こんにちは。当方、文系の元学生です。受験の都合上、高校数学は数I、基礎解析、微分・積分、確率・統計までで数IIIは勉強していません。ある本でタイトルの式のことを知ってとても不思議に思い、理解してみたいと思いました。理解したからといって何の役にも立たないのは十分承知です。
理解するのに必要な基礎知識や初歩から解説してあって高校生でも理解できる本などがありましたらご紹介ください。

残念ながら文系の人には理解できないから時間の浪費だよ、というアドバイスでもけっこうです。(^^;

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

[e^πi=-1が成立するのを理解するには?]ですね。
#1、#2さんの参考URLなどをみてやってみますか。
結論を先に言えば、
e^πi=cos(π)+isin(π)=-1  cos(π)=-1 だからなのです。
やりかたが理解できればOKですね。
ちょっと長いけど参考まで
(1)説明のためにe^zとします。e^zというのはzを変化させると、指数関数的に増加します。e^z≒(2.73)^z 指数関数的に増加する関数(グラフで考えてね。)は急激な右肩あがりのカーブです。このカーブを指数以外で
表現することが出来ます。べき数で展開するやり方です。
結果は、
e^z=1+z+z^2/2 + z^3/6 + z^4/24 + z^5/120 ・・・・・・
(2)このべき数で展開するやり方は、同じようにcos(z),sin(z)で同じように使います。結果は、
cosz=1- z^2/2 + z^4/24 +・・・・・
sinz=z- z^3/6 +z^5/120 + ・・・・・・
になります。coszが偶数、sinzが奇数項になっています。±がありますが
e^zの展開式に似てますね。
(3)虚数(i)の考え方:a^2=-1 という数字があるとすれば、a=√(-1)
これをa=√(-1)=i という記号で書きます。だから、i^2=-1 です。
続けると、i^3=-i i^4=1 i^5=i i^6=-1
(4) iの考えを踏まえて e^zi を考えてみますと、
e^zi=1+zi+(zi)^2/2 + zi^3/6 + (zi)^4/24 + (zi)^5/120 ・
e^zi=1+zi-z^2/2 -iz^3/6 + z^4/24 + iz^5/120 ・
i とiがないのを整理すると、
e^zi={1-z^2/2 + z^4/24 + ・}+i{z-z^3/6 + z^5/120 ・}
となりますね。この式を(2)と比較してみてください、
e^zi=cosz+isinz になっていませんか。
ということで、z=π を入れれば、e^πi=-1 という結果が得られるのです。
参考にしてください。

[e^πi=-1が成立するのを理解するには?]ですね。
#1、#2さんの参考URLなどをみてやってみますか。
結論を先に言えば、
e^πi=cos(π)+isin(π)=-1  cos(π)=-1 だからなのです。
やりかたが理解できればOKですね。
ちょっと長いけど参考まで
(1)説明のためにe^zとします。e^zというのはzを変化させると、指数関数的に増加します。e^z≒(2.73)^z 指数関数的に増加する関数(グラフで考えてね。)は急激な右肩あがりのカーブです。このカーブを指数以外で
表現することが出来ます。べき数で展開...続きを読む

Q三角関数の基礎

中学では三角比(1:2:√3)まで勉強したのですが、高校では三角関数を習いませんでした。今わけあって三角関数を勉強しています。三角関数の基礎を教えて頂けないでしょうか?
1.三角関数は何の為に使われる?
2.三角関数の求め方。

Aベストアンサー

1.建築の分野で勾配などの計算や、波動を記述したり、フーリエ級数や、e^iθ=cosθ+isinθというオイラーの公式としてあらゆる工学の分野に使われたり、その応用範囲は非常に広く三角関数なしに現代の科学技術は語れないと言っても過言ではないのではないでしょうか。

おそらくここで出てきた単語は分からないものがあるでしょう。その分からない単語はインターネットで検索すればいろいろ出てきます。興味があれば自分で調べてみましょう。

2.三角関数の求め方は、こんな記述しにくい所で聞いているよりは高校生用の本を一冊買って自分で勉強した方がいいと思います。

何事もまずは自分で努力です。それでも分からなかったら質問する。これが基本です。

Q対数とか常用対数って

なにがなんだかよくわかりません。logの計算とかはできるのですが、対数ってなんのために使うのですか。logを使わなければ解けない問題も、対数、常用対数の意味や利点がわからないため、「ああ、そうかlogを使えばいいんだな」って発想にいきつかなかないんです。教えていただきたいです。

Aベストアンサー

>対数ってなんのために使うのですか

 いろいろ理由はありますが、初めは、計算が楽になるということから出発しました。かけ算を足し算として計算できる、という面です。

 100×10,000 の結果は 1,000,000 ですが、「10の2乗」×「10の4乗」の結果が「10の6乗」になっており、指数だけ見ると 2+4 = 6 という足し算になっています。

 これは、「指数法則」です。a^b で「aのb乗」を表すことにして、

 a^b×a^c=a^(b+c)

と書けます。

 さて、指数法則が成り立つように考えて、指数に整数以外のものを持って来ることができます。
 例えば √10×√10 =10 ですから、√10 を 10^0.5(10の 0.5乗)と考えると

 10^0.5×10^0.5=10^(0.5+0.5)=10^1

となって、かけ算が 0.5+0.5=1 の足し算になっています。

 そこで、「全ての数を 10の何乗かで表す」ことができれば、全ての数のかけ算を足し算として表すことができます。

 例えば、2 は、およそ 10の 0.301乗、5は 10の 0.699乗と表せ、

 2×5=10^0.301×10^0.699=10^(0.301+0.699)=10^1

のような計算になります。

 このような計算をするためには、「2が10の0.301乗である」というようなことが、全ての数についてわかっている必要があります。電卓やパソコンが普及した今では見かけることも少なくなりましたが、たくさんの数について「その数が10の何乗か」ということを書いた「対数表」というものがあります。これを見れば、ややこしい二つの数のかけ算が、足し算をすることでできることになります。

 で、「ある数が10の何乗か」ということを「対数」といいます。「2の対数は 0.301 である」ということです。このとき基準になる 10 を「対数の底(てい)」と言います。

 このように考え出された対数ですが、底は必ずしも 10 である必要はなく、どんな数についても「ある数が何かの何乗か」を考えることができます。

 log(2)8=3 という式では、底が2です。「log(2)8」という式で一つの数を表し、それは「8は2の何乗か」を表しています。

 ただ、計算の便宜上は、10進法の計算では 10 を底とするのがやりやすいので、「常用対数」として使われます。

 初めは計算の便宜上考えられた対数ですが、いろんな面で役立つことが分かり、数学の仕組みを考える上で大事なものになっています。

 もう一度

>対数ってなんのために使うのですか

に戻りますと、対数はきわめて基本的な数の性質に関係するので、一言で「○○のために使う」ということはできません。「かけ算を何のために使うのか」ということに答えにくいのと同じくらい、広い分野に関係しています。

 自然科学では、底を 10 ではなく 2.71828…… という無理数にする、というのが普通で、「自然対数」と呼ばれ、いろんな分野で必要不可欠なものになっています。

>対数ってなんのために使うのですか

 いろいろ理由はありますが、初めは、計算が楽になるということから出発しました。かけ算を足し算として計算できる、という面です。

 100×10,000 の結果は 1,000,000 ですが、「10の2乗」×「10の4乗」の結果が「10の6乗」になっており、指数だけ見ると 2+4 = 6 という足し算になっています。

 これは、「指数法則」です。a^b で「aのb乗」を表すことにして、

 a^b×a^c=a^(b+c)

と書けます。

 さて、指数法則が成り立つように考...続きを読む


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