5%で当たりが出るガチャをn回引いた時m個以上当たりが出る確率は何%ですか…？

5%で当たりが出るガチャをn回引いた時m個以上当たりが出る確率は何%ですか…？

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/10 12:28

これは、原理的には「二項分布」なので、「m個以上」という場合には、厳密には #2 さんのように「m≦k≦n」について個別に計算して足し合わせないといけません。

それも「がちゃ」の中には「無限個」入っていて、ｎ 回引いても「当たり率 5%」は変化しないという前提での話です。
「ガチャ」の中が100個だったら（つまり「当たり」は5個）、引くたびにそれが「当たり」か「はずれ」かによって「当たり率」そのものが変化しちゃいます。

ということで、現実的に計算できるのは
・「がちゃ」の中には「無限個」入っていて、ｎ 回引いても「当たり率 5%」は変化しない
・ｎがある程度小さいとき（現実的に計算できる範囲）
ということになります。

でも、多分計算したいのは「n や m がある程度大きい場合」（n=100 とか）だと思います。

そのときには、「ｎが大きい」というのを逆手にとって、
・n がある程度大きい（通常は np>5 かつ n(1 - p)>5 などといわれます）
のときに「二項分布は正規分布で近似できる」ことを利用します。

二項分布では
・期待値：E = np
・分散　：V = np(1 - p)
ですから、ご質問のケースでは、p=5/100 で
・期待値：E = np = 0.05n
・分散　：V = np(1 - p) = 0.0475n
になります。

これが上の「np>5 かつ n(1 - p)>5 」などの条件を満たすときには、「平均 E=np、分散 V = np(1 - p) の正規分布で近似できる」ことになるわけです。

ご質問の場合には、p=5/100 ですから、上に書いた条件、つまり
　n ≧ 100
程度であれば、これは
・平均：μ = E = 0.05n
・標準偏差：σ = √V ≒ 0.218√n
の正規分布で近似できることになります。
n=100 なら
・平均：μ = 5
・標準偏差：σ = 2.18
ということになります。

これを使えば、「標準正規分布表」なり「エクセルの正規分布計算」を使って、「当たりがm個以上」になる確率を簡単に計算できるようになります。

具体的には、n=100 なら
・５個以上：0.50
・６個以上：Z値は (6 - 5)/2.18 ≒ 0.46　なので、下記の「標準正規分布表」から約 0.32
・７個以上：Z値は (7 - 5)/2.18 ≒ 0.92　なので、下記の「標準正規分布表」から約 0.18
・８個以上：Z値は (8 - 5)/2.18 ≒ 1.38　なので、下記の「標準正規分布表」から約 0.084
・９個以上：Z値は (9 - 5)/2.18 ≒ 1.83　なので、下記の「標準正規分布表」から約 0.034
・10個以上：Z値は (10 - 5)/2.18 ≒ 2.29　なので、下記の「標準正規分布表」から約 0.011
という感じ。

具体的な n や m が想定できるのなら、ご自分でもやってみてください。

↓　標準正規分布表
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/10 07:21

私も、つまづいた。

Σ[k=m..n](nCk){(5/100)^k}{(1-5/100)^(n-k)}
であることはすぐ判るが、この式を簡単にすることは望み薄だし、
具体的な m に対して値を求めるにはPCでも使って
Σ の定義どおりに計算させるしかなさそう。数学としては、手詰まり。

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2020/05/10 06:23

何がわからないのですか？

5%で当たりが出るガチャをn回引いた時、はじめのｍ個当たり、残りが全てハズレとなる確率
n回引いた時m個当たりが出る場合の数
n回引いた時、丁度m個当たりが出る確率
n回引いた時m個以上当たりが出る場合の数

はわかりますよね
つまずいている場所を指摘しますので、どこまで解けたのか、お示しください。