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命題P,Qについて
命題[P→Q]を考える
Pが偽のとき、P→Qは偽ですが、これは定義、公理ですか?それとも別の定義、公理から導かれますか?

また、P→Q と P→Qが成り立つ は区別した方が良いと思うのですが、区別したい場合、一般的には前者を何と書き、後者を何と書くのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • P→Qは真でした
    誤字です

      補足日時:2020/06/05 10:47

A 回答 (3件)

普通 P が偽のときには P→Q は真とするものだが, あなたのところでは違うのかな? まあ定義次第だからどっちでもいいけど, 「

とき P→Q は偽」とするのは (少なくとも) 一般的ではない, ということは認識した方がいいだろうね.
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Pが偽のとき、P→Qは真


です

例えば
A,Bを集合とする

x∈A→x∈Bが成り立つ(真)のとき
A⊂Bが成り立つ(真)と定義する

空集合をφ
Aを任意の集合
P=(x∈φ)
Q=(x∈A)
とすると
P(x∈φ)は偽だから
P→Q
x∈φ→x∈A

真となるから
任意の集合Aに対して
φ⊂A

成り立つ(真)
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定義とは、いくつかの公理の組のことなので、


→ に限らず、これは定義ですか?、公理ですか? と問うことには意味が無いように思います。
また、定義には同値な定義というものがあり、
そのどちらが定義でどちらがどちらが導かれたもの(定理)かは、どちらを定義として採用したか
流儀によって異なります。 定義ですか?定理ですか?にも、あまり意味は無いようです。
あなたの読んでいる本は、→ をどのように定義していましたか?

一般に命題 S について、「Sが成り立つ」を ├S と書くことがあります。
「P→Qが成り立つ」なら ├(P→Q) でしょうか。
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