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この不等式を解いてください
log1/2(3x+2)-log1/2(x-3)>2

どっちの答えが正しいか分からなくなってしまいました。途中式も含めて教えてください。

「この不等式を解いてください log1/2」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 低が1/2です。わかりにくくてすみません。

      補足日時:2020/06/07 17:23
gooドクター

A 回答 (6件)

底が 1/2 で



log[1/2](3x + 2) - log[1/2](x - 3) > 2

ということですか。

まず最初に、真数条件から
 3x + 2 > 0 かつ x - 3 > 0
よって
 3 < x

この条件で

 log[1/2]{(3x + 2)/(x - 3)} > 2   ①

対数の定義から
 y = log[1/2]{(3x + 2)/(x - 3)}
とおけば
 (1/2)^y = (3x + 2)/(x - 3)
ですから、
 y > 2
ということは
 (1/2)^y < (1/2)^2 = 1/4
ということです。

なので①は
 (3x + 2)/(x - 3) < 1/4   ②

これを解けば、x>3 なので
 12x + 8 < x - 3
→ 11x < -11
→ x < -1
これは真数条件を満足しないので、与不等式を満足する x は存在しない。


もし、底「1/2」を底「2」に変換したいなら

 log[1/2](3x + 2) = log[2](3x + 2) / log[2](1/2) = -log[2](3x + 2)
 log[1/2](x - 3) = log[2](x - 3) / log[2](1/2) = -log[2](x - 3)

なので、与式は

 -log[2](3x + 2) + log[2](x - 3) > 2
→ log[2]{(x - 3)/(3x + 2)} > 2

底が >1 なので、
 (x - 3)/(3x + 2) > 2^2 = 4

結果として解く方程式は②と同じです。


質問者の書かれている2つの不等式は、どちらも等価なのでどちらから解いてもよいです。
ただし、上の式は、右辺を
 log[2](4) = -log[2](1/4)
にして、両辺に -1 をかけて(そうすると不等号の向きは逆になる)、正の log どうしにしないと直接比較ができませんね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時:2020/06/07 19:27

>解答としてはどのように書けばいいんです?


>場合分けではないからなぁ…
>あと、対数>0よってx-3>0よりx>3で考えていいんですよね?

真数条件は必要。
3x+2>0 かつ x-3>0より、x>3

あとはNo.1の回答をもとにすると、
(x-3)/(3x+2)>4
両辺に(3x+2)^2をかけると、
(3x+2)(x-3)>4(3x+2)^2
3x^2 - 7x - 6>4(9x^2 + 12x + 4)=36x^2 + 48x + 16
33x^2 + 55x + 22<0
3x^2 + 5x + 2<0
(3x+2)(x+1)<0
-1<x<-2/3

真数条件x>3と-1<x<-2/3に共通する範囲はないため、「解なし」が解答になる。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時:2020/06/07 19:27

元の不等式はどういう式?



log[(1/2)(3x+2)] - log[(1/2)(x-3)] > 2    ①

でよいのかな?

それとも

log{1/[2(3x+2)]} - log{1/[2(x-3)]} > 2

かな?

自然対数? 常用対数?
それとも底が「1/2」?
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logM/N=logM-logNだから


log1/2(3x+2)-log1/2(x-3)>2
⇔log[1/2]{(3x+2)/(x-3)}>2
底の変換公式で
{log[2]{(3x+2)/(x-3)}}/log[2](1/2)
={log[2]{(3x+2)/(x-3)}}/(-1)
=-1・log[2]{(3x+2)/(x-3)}
=log[2]{(3x+2)/(x-3)}⁻¹
=log[2](x-3)/(3x+2)>log[2]4
ゆえに (x-3)/(3x+2)>4
x-3>12x+8
x<-1…①
(上のように変形しても間違いではないが 両辺マイナス倍しないと先へ進みづらいです)
ただし真数条件から
3x+2>0かつ(x-3)>0
すなわち、x>-2/3…②かつx>3…③も忘れずに
共通範囲を取れば答えだが 共通範囲はないので解なし?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時:2020/06/07 19:27

忘れてた。

上でも正しい。

-log[2]((x-3)/(3x+2))
=log[2](((x-3)/(3x+2))^(-1))
=log[2]((3x+2)/(x-3))
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この回答へのお礼

解答としてはどのように書けばいいんです?
場合分けではないからなぁ…
あと、対数>0よってx-3>0よりx>3で考えていいんですよね?

お礼日時:2020/06/07 17:12

底が1/2ということで良い?


その前提で、
log[1/2](3x+2)-log[1/2](x-3)>2

底を2に変換すると、
(log[2](3x+2)/log[2](1/2))-(log[2](x-3)/log[2](1/2))>2

log[2](1/2)=log[2](2^(-1))=-log[2](2)=-1より、

-log[2](3x+2)+log[2](x-3)>2
log[2]((x-3)/(3x+2))>2=2log[2](2)=log[2](4)

log[2]((x-3)/(3x+2))>log[2](4)

となり、下が正しい。
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