この不等式を解いてください log1/2(3x+2)-log1/2(x-3)2 どっちの答えが正し

Question

この不等式を解いてください
log1/2(3x+2)-log1/2(x-3)>2

どっちの答えが正しいか分からなくなってしまいました。途中式も含めて教えてください。

yhr2 · Accepted Answer

底が 1/2 で

log[1/2](3x + 2) - log[1/2](x - 3) > 2

ということですか。

まず最初に、真数条件から
　3x + 2 > 0 かつ x - 3 > 0
よって
　3 < x

この条件で

　log[1/2]{(3x + 2)/(x - 3)} > 2　　　①

対数の定義から
　y = log[1/2]{(3x + 2)/(x - 3)}
とおけば
　(1/2)^y = (3x + 2)/(x - 3)
ですから、
　y > 2
ということは
　(1/2)^y < (1/2)^2 = 1/4
ということです。

なので①は
　(3x + 2)/(x - 3) < 1/4　　　②

これを解けば、x>3 なので
　12x + 8 < x - 3
→　11x < -11
→　x < -1
これは真数条件を満足しないので、与不等式を満足する x は存在しない。

もし、底「1/2」を底「2」に変換したいなら

　log[1/2](3x + 2) = log[2](3x + 2) / log[2](1/2) = -log[2](3x + 2)
　log[1/2](x - 3) = log[2](x - 3) / log[2](1/2) = -log[2](x - 3)

なので、与式は

　-log[2](3x + 2) + log[2](x - 3) > 2
→　log[2]{(x - 3)/(3x + 2)} > 2

底が >1 なので、
　(x - 3)/(3x + 2) > 2^2 = 4

結果として解く方程式は②と同じです。

質問者の書かれている2つの不等式は、どちらも等価なのでどちらから解いてもよいです。
ただし、上の式は、右辺を
　log[2](4) = -log[2](1/4)
にして、両辺に -1 をかけて（そうすると不等号の向きは逆になる）、正の log どうしにしないと直接比較ができませんね。

varietyknowledge · Answer

>解答としてはどのように書けばいいんです？

>場合分けではないからなぁ…
>あと、対数>0よってx-3>0よりx>3で考えていいんですよね？

真数条件は必要。
3x+2>0 かつ x-3>0より、x>3

あとはNo.1の回答をもとにすると、
(x-3)/(3x+2)>4
両辺に(3x+2)^2をかけると、
(3x+2)(x-3)>4(3x+2)^2
3x^2 - 7x - 6>4(9x^2 + 12x + 4)=36x^2 + 48x + 16
33x^2 + 55x + 22<0
3x^2 + 5x + 2<0
(3x+2)(x+1)<0
-1<x<-2/3

真数条件x>3と-1<x<-2/3に共通する範囲はないため、「解なし」が解答になる。

yhr2 · Answer

元の不等式はどういう式？

log[(1/2)(3x+2)] - log[(1/2)(x-3)] > 2　　　　①

でよいのかな？

それとも

log{1/[2(3x+2)]} - log{1/[2(x-3)]} > 2

かな？

自然対数？　常用対数？
それとも底が「1/2」？

masterkoto · Answer

logM/N=logM-logNだから
log1/2(3x+2)-log1/2(x-3)>2
⇔log[1/2]{(3x+2)/(x-3)}>2
底の変換公式で
{log[2]{(3x+2)/(x-3)}}/log[2](1/2)
={log[2]{(3x+2)/(x-3)}}/(-1)
=-1・log[2]{(3x+2)/(x-3)}
＝log[2]{(3x+2)/(x-3)}⁻¹
=log[2](x-3)/(3x+2)>log[2]4
ゆえに　(x-3)/(3x+2)>4
x-3>12x+8
x<-1…①
（上のように変形しても間違いではないが　両辺マイナス倍しないと先へ進みづらいです）
ただし真数条件から
3x+2>0かつ(x-3)>0
すなわち、x>-2/3…②かつx>3…③も忘れずに
共通範囲を取れば答えだが　共通範囲はないので解なし？