y=e^x^xの微分 y=e^x^xは、どうやって微分すればいいですか？ 伝わりにくいですが、右辺の

y=e^x^xの微分


y=e^x^xは、どうやって微分すればいいですか？
伝わりにくいですが、右辺のeの右上にxが2回累乗されている式です

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/20 14:13

両辺自然対数をとると

logy=x^x
両辺自然対数をとる
log(logy)=xlogx
両辺ｘで微分　(z=logy ,u=logzとおく）
左辺=(d/dx)logz=du/dx=(du/dz)(dz/dx)=(du/dz)(dz/dy)(dy/dx)
=(1/z)(1/y)y'
右辺＝(x)'logx+x(logx)'=logx+1

ゆえに(1/z)(1/y)y'＝logx+1
y'=yz(logx+1)={e^(x^x)}logy(logx+1)
={e^(x^x)}・(x^x)・(logx+1)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/20 18:33

合成関数の微分で、( e^(x^x) )’ = ( e^(x^x) )・(x^x)’ です。

多変数の合成関数の微分を使うと
(u^v)’ = ( ∂(u^v)/∂u )・u’ + ( ∂(u^v)/∂v )・v’
= ( v・u^(v-1) )・u’ + ( (u^v)(log u) )・v’ なので、
特に u = u(x) = x, v = v(x) = x のとき
(x^x) = ( x・x^(ｘ-1) )・1 + ( (ｘ^ｘ)(log ｘ) )・1
= (x^x)( 1 + log x ) です。
よって、
( e^(x^x) )’ = ( e^(x^x) )(x^x)( 1 + log x ).