「図のような三角錐の体積を重積分を使い計算して求めよ」という問題で、画像のように計算して答えが一致し

「図のような三角錐の体積を重積分を使い計算して求めよ」という問題で、画像のように計算して答えが一致しませんでした。どこの箇所がおかしいのかよく分かりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/01 19:07

削除厨が暴れまわっていますが、自分の計算の成否を問う質問は

ここの利用既約に違反しません。萎縮することなく、質問してください。

最初の立式が違うかなと思います。
斜面の方程式が x/a + y/a + z/h = 1 なので、
三角錐の z の範囲は 0 ≦ z ≦ h(1 - x/a - y/a).
ｚ の区間が存在する y の範囲は 0 ≦ y ≦ a - x.
y の区間が存在する x の範囲は 0 ≦ x ≦ a.
以上をまとめて、
V = ∫[0,a] ∫[0,a-x] ∫[0,h(1 - x/a - y/a)] dz dy dx
写真の計算だと、z の範囲が違うでしょう？
こっちの式で計算すると、
V = ∫[0,a] ∫[0,a-x] h(1 - x/a - y/a) dy dx
= h ∫[0,a] (1 - x/a)(a-x) - (1/a)(1/2)(a-x)^2 dx
= (h/a) ∫[0,a] (1/2)(a-x)^2 dx
= (h/a) (1/6)a^3
= (1/6)ha^2.
この値なら合っていますね。
計算ではなく、立式のミスですよ。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/01 18:55

たぶん積分範囲を間違ってる.