三角関数（一般角と弧度法）の問題

数学で、問題を聞かれたのですがどうしても
解き方がないのでわかりません。

「半径６ｃｍと１ｃｍで中心間の距離が１０ｃｍの
２つの円がある。この２円の外側にひもを１回り
させたときのひもの長さは？」

高校の数学を忘れてしまったので・・。
よろしければ教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/01/22 18:32

ひもを巻きつけるということは、円と円の間では「ひもは２つの円の共通接線を描く」という理解でよろしいですか。

ここには図を描けないので、つぎの手順で図をかいて解いてみてください。
（１）半径６cmの円の中心をＯ、半径１cmの円の中心をＰとします。
（２）２つの円の共通接線（両側にあるので２本）ＡＢとＣＤを描きます。大きい円との接点をＡおよびＣ、小さい円との接点をＢおよびＤとします。
（３）直線ＯＡ，ＯＣ，ＰＢ，ＰＤを引きます。ここで、接線の性質からＯＡ⊥ＡＢ，ＯＣ⊥ＣＤ、ＰＢ⊥ＡＢ、ＰＤ⊥ＣＤとなります。（⊥は垂直を表わす）
（４）ＰからＯＡに垂線を引き、ＯＡとの交点をＥとします。また、ＰからＯＣに垂線を引き、ＯＣとの交点をＦとします。
（５）ＡＥとＣＦは、どちらも小さい円の半径と同じですから1 cm です。したがって、ＯＥとＯＦは5 cmとなります。
（６）ＯＰは円の中心間ですから、問題文により10 cmです。
（７）（５）と（６）より、△ＯＥＰと△ＯＦＰはどちらも正三角形のちょうど半分になっています。したがって、∠ＡＯＰ＝60°、∠ＣＯＰ＝60°、∠ＯＰＢ＝120°、∠ＯＰＤ＝120°です。
（８）ひもが円に沿っている部分は、大きい円では240°、小さい円では120°です。これらの長さは、円周の長さから容易に求められます。
（９）ＡＢとＣＤの長さは、△ＯＥＰと△ＯＦＰの斜辺と同じ長さですから、三平方の定理により√（10^2 - 5^2) cmとなります。

No.2 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/01/22 18:38

まず、正確な図を描いて下さい。

半径６の円周上から半径１の円周上への直線は、
それぞれの半径と直角に交わるので、
この直線と、各円の中心でできる四角形は、台形になることがわかると思います。
この台形の上底と下底は平行なので、
斜辺と半径６の辺とでできる直角三角形に着目すると、半径６と斜辺の角が（５：１０：５√３の直角三角形なので）６０度になることがわかります。
ここまでわかれば、あとは、簡単に計算できると思います。