数学 オイラーの定理

経済学で出てきました。オイラーの定理についてです。

関数f(x,y)が微分可能なk次同次関数であるとき、次式が成り立つことを証明せよ。

kf(x,y)=(∂f/∂x)x+(∂f/∂y)y　・・・(＊)

f(λx,λy)=λ^kf(x,y)
両辺をλで微分すると、(∂f/∂x)(dx/dλ)+(∂f/∂y)(dy/dλ)=kλ^k-1f(x,y)
ここでλ＝１のとき(＊)が成り立つ。

これで証明はあっていますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/07 19:51

「オイラーの定理」と呼ばれるものは数多くあるが、

こんな簡素なものにもオイラーの名がついているのか。
知らなかった。

質問文中の証明は、何がやりたいのかは見て判るし、
その方法でよいのだけれど、式の書き方があまりよろしくない。
dx/dλ は x じゃないでしょ？
f(x,y) の第1引数としての x と、λx の x をゴッチャにしない
書き方を工夫しないと。

どう書けばきれいなのかはよくわからないが、
(λ^k) f(x,y) = f(λx,λy) を λ で微分すると
k(λ^(k-1)) f(x,y) = fx(λx,λy)・x + fy(λx,λy)・y
この式に λ = 1 を代入すると k f(x,y) = (∂f/∂x)・x + (∂f/∂y)・y
とか？

この回答へのお礼

やはりオイラーの定理とは言わないみたいです…すみません。
この問題は、「オイラーの完全分配定理」という経済学において重要な法則の前段階のような問題でした。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/08/08 22:51