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yの2乗をxで微分すると2y×dy/dxになるのはなぜなんでしょうか?

高校数学レベルで教えてください。よろしくお願いいたします。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

 高校数学レベルでしたら <合成関数の微分> を使えば、そうなるのですが、それは使わないと言うことでしょうか。



 でしたら、微分の定義式から導くことになります。

 d{y(x)}^2/dx
=lim[h→0] [{y(x+h)}^2-{y(x)}^2]/h
=lim[h→0] [y(x+h)-y(x)]/h {y(x+h)+y(x)}
=dy(x)/dx 2y(x)

 公式などに頼らない場合は、基本(定義式)に戻って考えてください。
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ANo.1ですが、書き忘れがありました。


「aのb乗」をa^bと表しました。

つまりy^2は「yの2乗」で、
x^2は「xの2乗」を意味します。
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合成関数の微分で考えてみてください。



f(g(x))をxで微分するとf'(g(x))g'(x)になるというのはやりましたよね。
今回の場合、f(x) = x^2, g(x) = yと考えてみましょう。
y^2はf(g(x))という合成関数と考えることができますよね。
するとf'(x) = 2xなのでf'(g(x)) = 2y。
g'(x) = y'(つまりdy/dx)なので

{ f(g(x)) }'
= f'(g(x))g'(x)
= 2y・(dy/dx)

となります。
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