多項式環の元f(x)はxを写像fで写した像f(x)とは異なりますよね？実際、多項式の元f(x)が例え

多項式環の元f(x)はxを写像fで写した像f(x)とは異なりますよね？実際、多項式の元f(x)が例えば、f:R→Rのように書かれることはまずありません。

No.2 ベストアンサー 回答者： xixixi 回答日時： 2020/08/28 20:08

多項式 f(x) と多項式関数 f : K → K ( a → f(a)) との関係について。

多項式環 K[x] の係数体Kが有限体なら，多項式 f(x) ∈ K[x] と多項式関数 f とは区別されねばなりません。
なぜかというと，Kの0以外の要素の全体をK* とすると，これは乗法に関して可換群になります。K の位数をq とすると，K* の位数は q-1 なのでラグランジュの定理によってa ∈ K*なら，a^(q-1)=1，∴ a^q = a 。これは a = 0 のときも成り立つので，KからKへの写像としては，f(x) = x^q と g(x) = x は同じになってしまいます。だから，多項式と多項式関数を同一視することはできません。
係数体Kの標数が0の場合は，多項式と多項式関数を同一視することは可能です。

多項式はx に何かを代入することを考えていない，あるいは考える以前の文字式です。x への代入を考えるときに写像（多項式関数）になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/08/29 11:54

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/28 19:01

多項式間の元は関数 (写像) そのものなので「像」とは異なる.