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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
2次式では存在しませんね。
存在しない証明
f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+fとおけるとすると
(∂/∂x)f(x,y)+(∂/∂y)f(x,y)=2ax+cy+d+2by+cx+e=0
(∂^2/∂x∂y)f(x,y)=c=0
2a+c=0
2b+c=0
d+e=0
a=b=c=0,e=-d
∴f(x,y)=d(x-y)+f
(dとfは任意の定数)
2次の係数はすべてゼロになる。
したがって2次式は存在しないことになります。
No.4
- 回答日時:
#1です。
【条件1】と【条件2】を同時に満たす2じ関数ですか?
A#1での回答は同時に満たす2次の関数は存在しないです。
簡単な例が挙げられていましたので同時に満たすものと取り回答しました。
【条件1】と【条件2】が関係なく、独立した別の質問なら、A#3さんのような回答になりますね。
質問者さんの質問がどちらでしょう?
No.3
- 回答日時:
以前にも似た問題がありました。
2次式とか多項式と言わず、これらは一般解が求められます。【条件1】
u=x-y, v=yと変数変換します。
∂f/∂x=∂f/∂u (∂u/∂x=1, ∂v/∂x=0だから)
∂f/∂y=-∂f/∂u + ∂f/∂v (∂u/∂y=-1, ∂v/∂y=1だから)
以上により
0=∂f/∂x+∂f/∂y=∂f/∂v を得る。
fをvでテイラー(マクローリン?)展開すると
f(u,v)=f(u,0)+v∂f(u,θv)/∂v (0<θ<1)
=f(u,0)
すなわち、関数fを任意として、u=x-yのみの関数となる。
【条件2】
これは有名な波動方程式の一般解を求めるときの式です。
fをvでテイラー展開すると
f(x,y)=f(x,0)+y∂f(x,θy)/∂y (0<θ<1)
さらに∂f(x,θy)/∂yをxでテーラー展開します。
f(x,y)=f(x,0)+y{∂f(0,θy)/∂y +x∂∂f(φx,θy)/∂x∂y } (0<θ<1, 0<φ<1)
=f(x,0)+y∂f(0,θy)/∂y
最後の式はxのみの関数とyのみの関数の和ですからg, hを任意として
f(x,y)=g(x)+h(y)
となります。
したがって、いずれの関数も任意ですから2次式と言うなら簡単なもので
【条件1】a(x-y)^2 など。
【条件2】ax^2+by^2 など。
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1681686
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