複素関数論、1次分数変換

1次分数変換Ｔ：ｗ＝Ｔｚがa,b∈Ｃ＾（拡大複素平面）をそれぞれa`,b`∈Ｃ＾へ写すとき、 (w-a`)/(w-b`)=ｋ(z-a)/(z-b)（ｋ∈Ｃ）と表せる。 このとき、明らかにＴはa,bを通る円族のＣ１，a,bを極限点とするアポロ二ウスの円の族Ｃ２をそれぞれa‘,b‘を通る円族のＣ１‘a‘,b‘を極限点とするアポロ二ウスの円の族Ｃ２‘へ写す。という内容が書いてあるのですが、これはどうやったら証明できるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2020/09/08 15:33

アポロ二ウスの円の族Ｃ２

のほうは
(z-a)/(z-b)の値が定数となるようなｚの軌跡がアポロニウスの円。
この定数をｃとすれば、
ｚがこのアポロにウスの円周上を動くとき
(w-a`)/(w-b`)=ｋ(z-a)/(z-b)＝ｋｃ
となり、
この式は
ｗが‘a‘,b‘を極限点とするアポロ二ウスの円の上
に有ることを示している。

アポロニウスの円
では、
絶対値を取る必要があるような気もするが、
教科書と相談しながら、修正してください。

この回答へのお礼

ありがとうございます、解決できました

お礼日時：2020/09/08 17:08

No.1 回答者： uyama33 回答日時： 2020/09/08 15:18

(w-a`)/(w-b`)=ｋ(z-a)/(z-b)（ｋ∈Ｃ）

この式の分母を払って、適当に移行して変形すれば
Ｗ＝（ｐｚ+ｑ）/（ｒｚ+ｓ）
とできる。
これが、円を円に対応させることの証明は教科書にあると思います。
たとえば、初等函数論演習（能代清、培風館）ｐ178、ｐ179に書いてある。

よって、
Ｔはa,bを通る円族のＣ１，をa‘,b‘を通る円族のＣ１‘へ写す。
はいえる。

あとは、
函数の連続性を調べて、
収束について書けば良いと思います。

間違っていたらごめんなさい。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/09/08 17:08