アンケート調査に必要なサンプル数と選択肢の関係について

以前、SFCの授業でyahooの安宅さんが以下の数式で、
調査に必要なサンプル数を求めておられました。

※ 公開されていた動画で拝見したものです

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n=(k/E)*2 × P ×（100 - P）

K=信頼度係数
E=サンプリング誤差の範囲
P=想定回答比率

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その際の結果は添付の画像のようなものでした。

ここで質問なのですが、例えば質問の選択肢がyes,noなどの２つではなく
3,4つと増えていった場合、必要なサンプル数に影響は出るのでしょうか？

出る場合、どのように算出をするとよいのでしょうか？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/10/16 22:21

[1] 調査対象の母集団が十分大きいと仮定し、さらに完全にランダムなサンプリングをして、サンプルに無回答や複数回答は含まれていない、ということを前提とします。

[2] yes/noの質問をする場合、サンプリング調査によるyesの回答数xは、母集団の全数を調査した場合のyesの割合（真値）pと、サンプルサイズnとで決まる二項分布に従います。そして、知りたいのはpです。（この場合についての議論は → https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2386661.html とか。）

[3] k択の質問をする場合、サンプリング調査による選択肢j (j=1〜k)の回答数x[j]を並べたベクトル(x[1],x[2],…,x[k])は、母集団の全数を調査した場合の選択肢jの割合p[j]（真値）と、サンプルサイズとで決まる多項分布に従います。そして、知りたいのはp[j]です。

[4] さて、k択の質問をしたわけですが、この調査結果を「jを選びますか」という質問をした結果だ、と解釈することができます。すなわち、x[j]という回答を「yes」、それ以外の回答を全部「no」だと解釈するわけです。そうすれば、話はyes/noの質問をする場合[2]と全く同じ。
　ただし、想定回答比率Pは、一般にはjごとに異なる値ですね。各jについて必要なnを計算して、そのうちで最も大きい値を使うことになる。

No.2 回答者： zircon3 回答日時： 2020/10/16 17:14

書かれている式に「アンケートの設問が2拓形式である場合」、「アンケートの設問が3拓形式である場合」といったことに関係するパラメータはありますか？

授業で聞いたということでしたらその講座の教科書にサンプル理論に関する説明があるのではないでしょうか？

その辺を確認ください。
参考まで。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2020/10/16 17:13

> 例えば質問の選択肢が…増えていった場合、必要なサンプル数に影響は

当然、出てきます。
選択肢数に満たない回答数は、意味が無いことが直感できるはずです。