算数の問題が分かりません

13歳です。海外留学中の者です。
この問題解けますか？

とあるスーパーは、缶詰をピラミッドのように置いて売っている。
パターン1は、缶が１個。
パターン２は、缶が3個。
パターン3は、缶が６個。
パターン4は、缶が10個。
．．．と言う情報が与えられていて、
パターンをn、缶詰の数をCとおきます。

１）この缶詰の量と表す式を立てよ（多分　C＝an+b　みたいな形になります)
２）式を使って、この5つ先までの缶詰の数を求めよ。

でも、どうして解けばいいのかが分かりません。差が同じの問題は解けるのですが、差が違う時はどうすれば良いのでしょうか。学校の先生に聞こうと思っていたのですが、来週の月曜日にテストなので．．．。
日本のサイトを見ても、難しい公式ばかりだし．．．。習った時の記憶があいまいですが、そんなに難しい事はしていなかったと思います。
知恵をお貸しください！

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2020/11/07 07:36

ヒントです。

パターンnの間の数をC[n]と表記することにします。
　A[n] = C[n+1] - C[n]
とおくとき、
　C[n+1]＝A[n]+C[n]
と書けます。A[n]をnで表すところから始めてみましょう。

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。回答ありがとうございます。

お礼日時：2020/11/27 08:45

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/11/07 09:13

缶の置き方を見てみましょう。

上段から足した缶の個数が全部の缶の個数になることがわかります。

パターン1　　1
パターン2　　1+2=3
パターン3　　1+2+3=6
パターン4　　1+2+3+4=10
・
・
パターンn　　1+2+3+4+・・・+(n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=C

になります。
パターンnの個数は1からnまでの和になっています。
したがって、1からnまでの和を求めればいいことがわかります。
C=1+2+3+4+・・・+(n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n
と終わりの方から書いたCを足します。
C=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+・・・+4+3+2+1
1+(n-1)=n、2+(n-2)=n、(n-2)+2=n、(n-1)+1=nのようにnだけ残ります。残ったnの個数はnが相手がいないので、並べたn個より1個多いn+1個になります。
式で書くと、
　C=　　　　1　　 +2　　 +3　　 +4+・・・+(n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n
+C=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+・・・　 +4　　 +3　　 +2　　 +1
2C=n　+n　　 +n　　 +n　　 +n　　 +・・・+n　　 +n　　 +n　　 +n　　 +n
nがn+1個あるので
2C=n(n+1)
C=1/2 n(n+1)
C=1/2 (n²+n)
C=1/2 n²+1/2 n

簡単に考えるのなら、最初の数と最後の数を足して並べた数の個数をかけた半分が和です。
最初の数は1、最後の数はn、並べた数の個数はn個なので
(1+n)×n×1/2
=1/2 n(n+1)

パターン9ならn=9を代入してCを求めればいいです。

この回答へのお礼

とても詳しくありがとうございます！分かりました！

お礼日時：2020/11/27 08:45

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/07 12:03

パターンをn、缶詰の数をCとおきます。

その意味は、パターンｎでの缶詰の個数をCnと表記するということです
だから、たとえばパターン3では　n=3なので
缶詰の個数はC3個　となります
で、実際にはパターン３では缶が６個と分かっているので
C3=6(個)　ということです

さて、このような問題では一旦　Cnの数字の列を書き並べてみます
C1から順に
Cn:１、３、６、１０・・・　ですよね
そうしたらお隣同士の差を取ってみます
C2-C1=3-1=2
C3-C2=6-3=3
C4-C3=10-6=4ですから
これらの数字の列を順に　b1,b2,b3・・・ということにすると
bn:2,3,4・・・です
（↑　　b1=2,b2=3,b3=4・・・なので）
Cnとbnの関係を見やすくするために上下に書き並べてみると

Cn:１、３、６、１０・・・
bn:　２　３　４　・・・

となり、上段の3-1の結果がその間の下段２
６－３の結果が　その間の下段３
１０－６の結果が　その下段の４となっていることが一目瞭然ですよね

このような数列bnを階差数列と呼びます
今回は階差数列bnは初項２、公差１という等差数列になってるところがこの問題の特徴なんです
そこでこれを利用です

すると　例えばC4の計算式は
C3=C2+b2
C2=C1+b1ですから

C4=C3+b3
=(C2+b2)+b3
=(C1+b1)+b2+b3
=C1+b1+b2+b3
=1+(2+3+4)
=10
となります

(2+3+4)は下段の階差数列（等差数列）の和になっているところがポイントで
結局C4に限らず
Cnは　C1=1 と階差数列の和b1+b2+b3＋・・・+b[n-1]
これらを足し合わせたものになることが分かるはずです

※重要ポイント：
Cn=C1+b1+b2+b3＋・・・+b[n-1]
=C1＋(階差数列bnのn-1項目までの和)
とくにこの問題では
=C1+(等差数列bnのn-1項目までの和)

これをヒントにあとは自分で考えられるはずです（まだわからなければ再質問にお答えします）

この回答へのお礼

分かりやすくありがとうございます！つまり増える数が１づつ大きくなっていっているんですね。

お礼日時：2020/11/27 08:46

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/07 13:56

パターン1は、缶が１個。

→ 1 。
パターン２は、缶が3個。→ 1+2=3 。
パターン3は、缶が６個。→　1+2+3=6 。
パターン4は、缶が10個。→ 1+2+3+4=10 。
パターン5は、缶が 10+5=15個。→ 5x6÷2=15 。
パターン6は、缶が 15+6=21個。→ 6x7÷2=21 。
パターン7は、缶が 21+7=28個。→ 7x8÷2=28 。
パターン8は、缶が 28+8=36個。→ 8x9÷2=36 。
パターン9は、缶が 36+9=45個。→ 9x10÷2=45 。
・・・・・・・
パターンnは、缶が n(n+1)/2 個。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。こういうパターンがあるんですね。分かりやすかったです。

お礼日時：2020/11/27 08:47