2題よろしくお願いします。
1.平面上の集合kが凸集合である定義を述べよ。
2.xy平面上の凸集合、凸でない集合をそれぞれ例示せよ。
この2題です。さっぱり分かりません。よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

つまりy=xのような直線は凸集合


n角形で一つの辺が内側にはいりこんでいれば凸集合ではない。
ん?まてよ…
さらに盛った目玉焼きを上からだけみると凸集合だ。(へこみがない場合です)
しかし、横からみると凸集合ではない。
つまり、目玉焼きは3次元的にみると凸集合ではない。
どうも線形計画法の問題みたいですね。
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この回答へのお礼

お礼の返事はこの回答欄で一括させてもらいました。
何度も答えてもらってありがとうございました。
失礼します

お礼日時:2001/08/18 12:50

ああ、私は勘違いをしていたのですね。


つまり、★(星型)も凸集合ではない。
領域として考えたから間違えてしまったんだーー!!!!。
なるほど、たしかにx軸も凸集合ですな。

定義は広辞苑に載ってましたよ。
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定義は newtype さんがいっていますので、簡単な例をだします。


円「●」(内部を含む)、三角「▲」(内部を含む)、一点のみ「・」、x軸、等は凸集合。
違う例は「く」の字、三日月、など。あとよく言うのは「凸」の字(内部を含む)は凸集合ではないです。
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凸関数を考えればよいのかなあ。


凸集合…y≧e^x,y≦logx,y≧x^2…etc
凸集合でない…y≧x、y≦x^3,…etc

凸関数には面白い性質があり、f(x)は区間Iで下に凸とし、aをIの点とするとき、(関数f(x)が区間Iで下に凸⇒f"(x)>0)
f(x)≧f(a)+f'(a)(x-a)が成り立つ。

証明
F(x)=f(x)-{f(p)+f'(p)(x-p)}とおくと、
F'(x)=f'(x)-f'(p)…(1)

題意よりf'(x)は全実数で連続かつ微分可能だから平均値の定理より、
f'(x)-f'(p)/x-p=f"(c)
⇔f'(x)-f'(p)=F"(c)(x-p)…(2) (cはpとxの間の数)
なるcの値が存在する。

よって(1),(2)より、
F'(x)=f"(c)(x-p)
仮定より、f"(x)>0より、f"(c)>0なので
∴F'(x)の正負⇔x-pの正負
∴F(x)≧F(p)=0
∴題意成立

この式を使うとたとえば相加相乗平均の不等式が求められる。
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1.平面または空間内の集合において、その集合の任意の2点を結ぶ線分がその集合に含まれるような集合。

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Q「完熟トマト」の定義とは?

野菜や果物には「完熟〇〇」という表現があります。ものによって「完熟」の定義が違うと思いますが、「完熟トマト」の世の中共通の定義というものが有るのでしょうか?
有るのでしたら内容を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

農産物流通です。
通常市場に持ち込まれるトマトは薄いピンクすら入る以前のものです。
そうしなければ流通(時間や扱い)に耐えられないでしょうね。

では、「完熟」はというと完熟トマトの共通の定義がないので曖昧です。
本当に完熟、つまり収穫してすぐに食べる状態では流通させると確実に割れます。
うちでは完熟トマトとして販売している頃はカラーチャートで7~8段階で収穫してもらっていました。
見た目は全体が赤く完熟ですが赤がまだ薄いです。

現在は「完熟」という表現が曖昧なことと本当の完熟ではないことから
消費者に優良誤認を与えかねないということで、表示・表現をやめています。

自らの団体が定義をつけ、それを常に消費者に案内していれば
「完熟」という表現を使っても許されそうですね。
例えば「○○産地の完熟基準・・・カラーチャート9段階で収穫し、消費者の手元に24時間以内で届けたものを完熟という」など。

QXi(i∈I)が凸集合⇒∩[i∈I]Xiも凸集合

Rを実数体とする。
R^n⊃Xi(i∈I)が凸集合⇒∩[i∈I]Xiも凸集合
を示したいのですが
∀λ∈[0,1], x,y∈∩[i∈I]Xi,
λx+(1-λ)y=…

からどのようにして

∈∩[i∈I]Xiに辿り着けますでしょうか?

Aベストアンサー

集合Xが凸集合であるとは、X内の任意の2点A,Bに対して、線分ABがXに
含まれていることである。もう少し式を使えば、任意のλ(0≦λ≦1)
に対して、λA+(1-λ)B∈Xとなることである。

∩[i∈I]Xiから任意の2点A,Bをとる。
AもBもすべてのXiに含まれており、Xiは凸集合だから線分ABはXiに含ま
れている。
つまり、線分ABはすべてのXiに含まれており、線分ABはXiの共通集合
∩[i∈I]Xiに含まれている。
よって、∩[i∈I]Xiは凸集合である。

一般に、共通集合は、それぞれの集合の共通の性質を引き継いでいると
いうことか。

式より以前に、意味を考えるようにすると良いと思います。

Qガラス転移の定義とは??

ガラス転移の定義を、自分の言葉でテストに書いたら
×になりました。
ガラス転移の定義ってなんですか??
ちゃんと決まっている言葉(定義)なのですか??
なんか調べてもぱっとこなくて・・・
なんとか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

あなたの回答を教えて下さい。テストの回答はないのですか?
質問の回答に困ります。

以下参考まで。
ガラス転移とは,ガラスを過熱するか,またはガラスになる過冷却液体を
冷却した時その物質の融点又は液相温度の2/3~1/2の温度付近で,熱膨張
係数や比熱容量突然変化する温度,"ガラス転移温度が存在すること。
ガラスは過冷却の液体である。との言い方もできる。(ガラスの事典より)

 ガラス転移現象とは、過冷却状態からガラス状態に移るときに性質が
大きく変わる(例えば熱膨脹係数が急に小さくなる)現象をいい、ガラス
転移現象を示す温度をガラス転移温度(あるいはガラス転移点)と呼びます。

 ガラス転移とは、温度を変えたときに、アモルファス固体相が示す、比
熱や熱膨張係数のような熱力学的微分量が結晶的な値から液体的な値へと
多少急激に変化する現象である。(Wong and Angell, 1976; p.36).

 過冷却液体をさらに冷却していくと、分子運動がさらに制限されるよう
になり、最終的にはほとんど停止する。この過冷却液体が運動性を失う現
象をガラス転移と呼ぶ。つまりガラス転移は無秩序である非晶部位(過冷
却液体)でしか起きない(固体である結晶は融解するだけ)。
 

あなたの回答を教えて下さい。テストの回答はないのですか?
質問の回答に困ります。

以下参考まで。
ガラス転移とは,ガラスを過熱するか,またはガラスになる過冷却液体を
冷却した時その物質の融点又は液相温度の2/3~1/2の温度付近で,熱膨張
係数や比熱容量突然変化する温度,"ガラス転移温度が存在すること。
ガラスは過冷却の液体である。との言い方もできる。(ガラスの事典より)

 ガラス転移現象とは、過冷却状態からガラス状態に移るときに性質が
大きく変わる(例えば熱膨脹係数が急に小さく...続きを読む

Qxy平面上で点(0,1)を通る曲線C上

の任意の点PにおけるCの接線が2直線y=±xと交わる点をQ,RとするときPは常に線分QRの中点になっている
このような曲線Cの方程式を求めよ

点Pのx座標をtとして接線の方程式を出し、それと2直線y=±xの交点Q,Rを出してそれぞれのx座標の和が2tと同じという式を出し整理した結果
2t{1-(f'(t))^2}=2f'(t){f(t)-tf'(t)}
という式が成り立つのは分かりましたが、答えによればこの式は2t=2f(t)f'(t)となるらしいのですがそうなる理由がわかりません
教えてください

Aベストアンサー

2t{1-(f'(t))^2}=2f'(t){f(t)-tf'(t)}

2で割って

t{1-(f'(t))^2}=2f'(t){f(t)-tf'(t)}

展開して

t-tf'^2=f'f-tf'^2

tf'^2は両辺にあり消えるので

t=f'f

これは正確には微分方程式です。

解き方は以下の通り


f'f=d(f^2)/dt/2


d(f^2)/dt/2=t


d(f^2)/dt=2t

f^2=t^2+c


Cは(0,1)を通るので

c=1

よって曲線Cの方程式は

f(x)=x^2+1

Qダイアディックの絶対値の定義とはなんでしょうか?

ダイアディックの絶対値は、どのように定義されているのでしょうか?

Aベストアンサー

ダイアディックについては私も夢中になって勉強しましたが、実際に物理学の中で応用したことはありません。知識だけなので、回答すべきじゃないのですが、他に回答がつかない様なので、少しでも参考になれば、と書かせていただきます。

そもそも、ダイアディックに絶対値というものが定義されているとは知りませんでした。Gibbsは不変量として、first、second、thirdを定義しているので、絶対値の定義として相応しいものがあるのなら、この中のどれか、ということになるでしょう。

firstはマトリクスでいうところのトレースに相当します。secondはなんとも言い難いですが、thirdはマトリクスでいうところのデターミナントに相当します。よって、ダイアディックに絶対値が定義されるのであれば、不変量のthirdが相応しいかと思います。

ご参考までに。

Q平面上の交わる2直線に垂直な直線は、その平面に垂直、すなわち、その平面

平面上の交わる2直線に垂直な直線は、その平面に垂直、すなわち、その平面上のすべての直線に垂直である。

この定理を初等幾何で示す方法を知りたいのですが、分かる方がいましたらよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

平面上の2直線をl,mとし、それに垂直な直線をnとする。
2直線l,mの交点をOとし、Oを通る平面上のl,m以外の任意の直線をsとする。

平面上でOを中心とした適当な半径の円を描き、直線lとの交点をA,A'、直線mとの交点をB,B'とする。
また、OD=OAとなる直線n上の点をDとする。

線分ABと直線sとの交点をC、線分A'B'と直線sとの交点をC'とする。
(もし、線分ABと直線sとの交点がない場合は、BとB'を交換すれば必ず交点が存在します)

以上から、
AC=A'C'、かつ、△ABDと△A'B'Dは合同なので、
△ACD、△A'C'Dは合同
よって、CD=C'Dであり、△CC'Dは二等辺三角形となる。
OはCC'の中点なので、∠CODは直角となり、直線sは直線nと垂直である。

平面上のすべての直線は、Oを通る平行な直線が存在するので、直線nは平面上のすべての直線と垂直になる。

Q中学2年図形の証明についての質問です。定義、定理、仮定の違いとは…

非常に初歩的な質問ですみません。
今の私の解釈では・・・

【仮定】
・問題文に出てきた事象。
・結論にはなり得ない。

【定義】
・証明をしなくてもわかりきっている(知識として丸覚えしなければならない)特徴。
・問題を解く際、答えでここへたどり着く証明をすれば、その図形であることがいえる(例:~により、AB=CB(2辺の長さが等しい)なので三角形ABCは二等辺三角形である)。つまり、結論になり得る。

【定理】
・以前証明してはっきりした特徴。
・結論になり得る?

習った内容をすっかり忘れてしまい、結論になり得るのはてっきり「定義」のみかと思って問題集の証明を解いていたのですが、どうやら模範解答を読むと定理も結論にしていいようで…

つまりは・・・
・定義と定理の違いはさほどなく、両方とも図形の特徴(性質)である。
・よって、定義のみならず定理も丸覚えせねばならない。
ということになるのでしょうか?

図形の性質については小学校でも触れているので、定義と定理にさほど違いが無ければ、とりあえず特徴を片っ端から思い出して証明を解けばいい話なのでちょっと気が楽になっていいなあと思っているのですが・・・如何でしょうか?

非常に初歩的な質問ですみません。
今の私の解釈では・・・

【仮定】
・問題文に出てきた事象。
・結論にはなり得ない。

【定義】
・証明をしなくてもわかりきっている(知識として丸覚えしなければならない)特徴。
・問題を解く際、答えでここへたどり着く証明をすれば、その図形であることがいえる(例:~により、AB=CB(2辺の長さが等しい)なので三角形ABCは二等辺三角形である)。つまり、結論になり得る。

【定理】
・以前証明してはっきりした特徴。
・結論になり得る?

習った内容をすっかり...続きを読む

Aベストアンサー

「定義」は決められた事です。
例えば直角三角形の定義は「内角の1つが直角である三角形」。
決まったことなので、理由も何もありません。

それに対し、「定理」は証明により導き出された法則です。
例えば「ピタゴラスの定理」。
これは「~なので、ピタゴラスの定理により、三角形ABCは直角三角形である」
という風に証明に使うことができます。

「定理」はもちろん丸暗記していると便利ですが、証明により導き出すことができるので、必ず丸暗記しなければならないということはありません。

Qxy平面からuv平面へ変換するお話

簡略化して書きます。お許し下さい。
x>0,y>0,u=x+y,v=x^2+2y^2とする。u,vの動く範囲をuv平面に図示せよ。
…v=x^2+y^2のときは毎度御馴染みよくある話ですが、対称性が崩れるとお手上げです。この問題の解答だけでなく、このような、対称性のない文字の変換問題の一般的な解法の話も交えながら教えていただけるとありがたいです。高3です。どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

>対称性のない文字の変換問題の一般的な解法
軌跡とか、変数の取る範囲とかの問題は、変換後の値を定数だと思って、元の変数の方程式と考えて与えられた条件の解が存在するような係数の範囲を求める、ってするのが一番一般的な方法です。
言葉にすると分かりにくいですね。

この問題だと、
u = x+y     (1)
v = x^2+2y^2   (2)
というのを、u,vは定数だと思って、x,yについての連立方程式だと考えます。で、この連立方程式が与えられた条件x>0,y>0を満たすような解をもつような、定数u,vの範囲を求めればいいわけです。

(1)より、 y=u-x (3)
y=u-x>0より、x<u
(3)を(2)に代入して、 v=x^2 + 2(u-x)^2 より、
3x^2 - 4ux + 4u^2-v = 0 (4)
これから、xについての2次方程式(4)が 0<x<u という解をもつような、係数u,vの範囲を求めれば、それが答えです。

Q要件定義書とは?

すみません教えてください。
私は設計を全くしたことがなくて馬鹿みたいな質問かもしれませんが

設計を行う上で「要件定義書」をかかなければならないと
思うのですが、その要件定義書にはなにを記載すればいいのか
具体的に教えていただけないでしょうか?

さらに大雑把な質問ですが、案件を受注して仮に外注に仕事を
投げる場合、どこらへんまで、こちらで物を作ったらいいのでしょうか?

馬鹿みたいな質問ですがもしよろしければお教え下さい。

Aベストアンサー

「要件定義書」自体、さまざまな定義があるようですが、基本的にはクライアントから「RFP(Request For Proporsal)要求定義書」が提出されるケースもありますが、クライアント側にシステム部門がなかったり、システム知識がない場合には、要件のヒアリングをしたうえでヒアリング結果をまとめた「要件(要求)定義書」を作成します。いわゆる新システムの青写真になります。
記載項目は以下のもので網羅されていると思います。参考にしてください。
・開発案件名
・開発の目的と背景
・効果予測
・システム稼動開始予定時期
・開発案件概要
・全体実現イメージ
・導入後の見通し(データの増加予想など)
また、外注に振る場合は、要件のヒアリング作業から参画してもらい外注に要件定義書を作ってもらうこともよいと
思います。

Qxy平面において、曲線y=x^2をCとし、C上に点A(2,4)がある、このとき、次の条件を満たす正方

xy平面において、曲線y=x^2をCとし、C上に点A(2,4)がある、このとき、次の条件を満たす正方形の個数を求めよ

条件:Aを1つの頂点とし、残りの3つの頂点のうちの2つはC上にあり、1つは領域y>x^2に含まれる

これの解き方と答えを教えて下さいm(_ _)m

A以外の頂点をそれぞれP(a,a^2),Q(b,b^2)と置いて、bの解がいくつあるかで求める方法と、直線PQとy=x^2の交点で求める方法の2通りでやってみましたが、出来ませんでした。

Aベストアンサー

No.3 のやり方で解いてみました。正解かどうかは知りません。これが入試問題だったら、アイデアを示すぐらいで解くことはできないでしょう。


「+90°の回転」と書くときは「点(2,4)を回転の中心とする反時計回りに90°の回転」のことする。また、3頂点を共有する正方形の頂点を反時計回りにA、P、Q、Rとする。

(1) A、P、RがC上にあるとき
曲線Cを+90°回転させると、辺APは辺ARに重なる。
その曲線をC1とすると、Cとの共有点はC上でR、C1ともども-90°回転させるとC上のPになる。
C1は、x+(y-2)^2-6=0 である。
f(x,y)=x+(y-2)^2-6 とおくと、f(x,y)<0 の領域はベロの上である。
f(0,0)=4-6<0
f(1,0)=1+4-6<0
f(0,-1)=9-6>0
C1の対称軸の下側に交点は無い。

f(-2,4)=-2+4-6<0
f(-3,9)=-3+49-6>0
よってC上(-2,4)から(-3,9)の間に交点がある。
これが点Rのただひとつの候補である。
(-2,4)、(-3,9)、(-3,4)を結んでできる三角形の領域(境界線は含まない)内に交点Rはある。
さて、-45°回転して√2倍する変換は
  (x,y) → (x+y-4,-x+y+2)
である。この変換によって、交点Rは点Qに写る。また、三角形の内部は三角形の内部に写る。
いま、この変換によって上記三角形の領域が、y>x^2 の領域内に写ることを確認する。
 (-2,4) → (-2,8)  8>(-2)^2
 (-3,9) → (2,14)  14>2^2
 (-3,4) → (-3,9)  9=(-3)^2
よって点Qはy>x^2の領域内にある。合格である。

(2) A、P、QがC上にあるとき
曲線Cを+45°回転させ√2倍させると、点PはQに写る。
その曲線をC2とする。
CとC2の交点は、-45°回転して1/√2倍するとC上にある。つまり、点QとPである。
C2は (-x+y+6)/2={(x+y-2)/2}^2 である。
 f(x,y)=2(-x+y+6)-(x+y-2)^2
とおくと、C2はf(x,y)=0である。f(x,y)>0はベロ本体である。
C2の頂点は(2,-6)、
f(4,0)=4-4=0
f(0,-1)=10-9>0
f(0,-2)=8-16<0
なので、C2の線対称の左半分はCと交わらない。

右半分と交わる点のA以外のものの範囲を定める。
f(-3,9)=16-36<0
f(-11/4,121/16)=87•48/(16•16)-45•45/(16•16)>0
よって点Qは、(-11/4,121/16)と(-3,9)と(-3,121/16)を結ぶ三角形の内部にある。
+45°回転して1/√2倍する変換は
  (x,y) → ( (x-y+6)/2, (x+y+2)/2)
で、
 (-11/4,121/16) → (-69/32,109/32)  109/32=109•32/(32•32)=54.5•64/(32•32)<(-69/32)^2
 (-3,9) → (-3,4)  4<(-3)^2
 (-3,121/16) → (-73/32,105/32)  105/32=105•32/(32•32)=52.5•64/(32•32)<(-73/32)^2
なので、点Rは領域y>x^2にない。

(3) A、R、QがC上にあるとき
曲線Cを-45°回転させ√2倍させると、点RはQに写る。
その曲線をC3とする。
C3は f(x,y)=2(x+y+2)-(x-y+6)^2 とおくと、C3はf(x,y)=0である。f(x,y)>0はベロ本体である。
C3の頂点は(-4,2)、どうでもよいか。
候補の点は
f(-1,1)=8-16<0
f(-2,4)=8-0>0
より (-1,1)、(-2,4)、(-2,1)を結ぶ三角形の内部、
f(-11/4,121/16)=-1273/256<0
f(-5/2,25/4)=63/16>0
より (-11/4,121/16)、(-5/2,25/4)、(-11/4,4/25)を結ぶ三角形の内部、
f(4,16)=44-36>0
f(5,25)=64-196<0
より (4,16)、(5,25)、(5,16)を結ぶ三角形の内部にある。
これらはQで、この3点を試す。
-45°回転して1/√2倍する変換は
  (x,y) → ( (x+y-2)/2, (-x+y+6)/2)
で、
 (-1,1) → (-1,4)
 (-2,4) → (0,6)
 (-2,1) → (-3/2,9/2) いずれも y>x^2 を満たす。

 (-11/4,121/16) → (45/32,261/32)
 (-5/2,25/4) → (7/8,59/8)
 (-11/4,25/4) → (3/4,15/2) いずれも y>x^2 を満たす。

 (4,16) → (9,9)
 (5,25) → (14,13)
 (5,16) → (19/2,17/2) いずれも y>x^2 を満たさない。

なので、上の2つが合格である。

(1),(2),(3)より、条件を満たす正方形は3つ。

No.3 のやり方で解いてみました。正解かどうかは知りません。これが入試問題だったら、アイデアを示すぐらいで解くことはできないでしょう。


「+90°の回転」と書くときは「点(2,4)を回転の中心とする反時計回りに90°の回転」のことする。また、3頂点を共有する正方形の頂点を反時計回りにA、P、Q、Rとする。

(1) A、P、RがC上にあるとき
曲線Cを+90°回転させると、辺APは辺ARに重なる。
その曲線をC1とすると、Cとの共有点はC上でR、C1ともども-90°回転させるとC上のPになる。
C1は、x+(y-2)^2-6=0 である。...続きを読む


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