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2題よろしくお願いします。
1.平面上の集合kが凸集合である定義を述べよ。
2.xy平面上の凸集合、凸でない集合をそれぞれ例示せよ。
この2題です。さっぱり分かりません。よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

つまりy=xのような直線は凸集合


n角形で一つの辺が内側にはいりこんでいれば凸集合ではない。
ん?まてよ…
さらに盛った目玉焼きを上からだけみると凸集合だ。(へこみがない場合です)
しかし、横からみると凸集合ではない。
つまり、目玉焼きは3次元的にみると凸集合ではない。
どうも線形計画法の問題みたいですね。
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この回答へのお礼

お礼の返事はこの回答欄で一括させてもらいました。
何度も答えてもらってありがとうございました。
失礼します

お礼日時:2001/08/18 12:50

ああ、私は勘違いをしていたのですね。


つまり、★(星型)も凸集合ではない。
領域として考えたから間違えてしまったんだーー!!!!。
なるほど、たしかにx軸も凸集合ですな。

定義は広辞苑に載ってましたよ。
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定義は newtype さんがいっていますので、簡単な例をだします。


円「●」(内部を含む)、三角「▲」(内部を含む)、一点のみ「・」、x軸、等は凸集合。
違う例は「く」の字、三日月、など。あとよく言うのは「凸」の字(内部を含む)は凸集合ではないです。
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凸関数を考えればよいのかなあ。


凸集合…y≧e^x,y≦logx,y≧x^2…etc
凸集合でない…y≧x、y≦x^3,…etc

凸関数には面白い性質があり、f(x)は区間Iで下に凸とし、aをIの点とするとき、(関数f(x)が区間Iで下に凸⇒f"(x)>0)
f(x)≧f(a)+f'(a)(x-a)が成り立つ。

証明
F(x)=f(x)-{f(p)+f'(p)(x-p)}とおくと、
F'(x)=f'(x)-f'(p)…(1)

題意よりf'(x)は全実数で連続かつ微分可能だから平均値の定理より、
f'(x)-f'(p)/x-p=f"(c)
⇔f'(x)-f'(p)=F"(c)(x-p)…(2) (cはpとxの間の数)
なるcの値が存在する。

よって(1),(2)より、
F'(x)=f"(c)(x-p)
仮定より、f"(x)>0より、f"(c)>0なので
∴F'(x)の正負⇔x-pの正負
∴F(x)≧F(p)=0
∴題意成立

この式を使うとたとえば相加相乗平均の不等式が求められる。
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1.平面または空間内の集合において、その集合の任意の2点を結ぶ線分がその集合に含まれるような集合。

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Q凸集合

次の問題を教えて下さい。基本的ですいません。
よろしくお願いします。

----------------------------------
以下の集合が凸集合であることを示せ
A={ x^2+y^2≦r^2 }∈R^2 (rは定数)
B={ x^2+y^2≦z } ∈R^3
----------------------------------

Aベストアンサー

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)-(ad+be)^2=(ae-bd)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+td}^2+{(1-t)b+te}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ad+be)+t^2(d^2+e^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(d^2+e^2)}+t^2(d^2+e^2)
≦c(1-t)^2+2(1-t)t√(cf)+ft^2
=(1-t)c+tf-t(1-t)(√c-√f)^2
≦(1-t)c+tf
=z

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)...続きを読む

Q開球 凸集合 証明

以下の問題が分かりません。

a∈R^nとする。 B(a,ε)={x∈R^n|d(a,x)<ε}が凸集合であることを示しなさい。

任意のx,y∈B α∈(0,1)に関して(1-α)x+αy∈Bを示せばよいことはわかるのですが、具体的にどのようにすればよいかわかりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

うん, それはあさっての方向に突き進むね.

x, y ∈ B といっているんだから ||x-a|| < ε, ||y-a|| < ε はわかってる. ということで, z = (1-α)x + αy に対して z-a を (x-a) と (y-a) を使って書いてみよう. ねんのために書いておくと
(1-α) + α = 1
だね.

Q凸集合での命題を証明したいのですが…

実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、
(1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。
(2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。

という命題を証明したいのですが滞ってます。

凸集合の定義は
「集合Sについて任意の2つのベクトル x,y∈S と正の実数s (0≦s≦1) について,
sx+(1-s)y∈S
が成立するとき,Sは凸集合であるという」
閉集合の定義は
「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」
コンパクトの定義は
「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」

(1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか?
そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?

Aベストアンサー

すみません,Aの定義に
-π/2 ≦ x ≦ π/2
を入れ忘れました.つまり,

A= {(x,y)∈R^2 |-π/2 ≦ x ≦ π/2, y ≧ |tan(x)|}

放物線みたいなのが一つあるだけです.

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q内生変数と外生変数の意味

マクロ経済学を勉強中なのですが、
いきなり説明もなしに内生変数と外生変数という単語が出てきました。

投資需要は単純化のために外生変数とおく
政府支出や税収といった政策変数も外生変数
政策変数は外生変数とおき、内生変数をとき、政策変数の変化が内生変数にどのような変化をもたらすのか

こんな文章がでてきてまったくもって意味がわかりません…
どうかわかりやすく教えてください。

Aベストアンサー

ごく簡単にいえば、外生変数とは経済モデルを作る人が数値を自由に設定できる「前提条件」にあたります。内生変数とは、前提条件の下で作られた経済モデル(連立方程式)を解いて得られる「未知の変数」という意味です。

高校数学でやった、連立方程式でXの値に適当な数字を入れるとYの値がどうなるか、といったことを難しく言っているだけです。マクロ経済学の初歩ということであれば、IS-LMモデルによるマクロ経済モデル等でしょう。一番簡単なモデルはたとえば以下のようなものです。

YD=C+I+G-T:総需要
C=C(Y):消費関数
I=I(r):投資関数
G=一定:政府支出
T=一定:税収
M/P=L(r,Y):通貨需要関数
YS=F(L):総供給関数
YS=YD:需給均衡条件
P=一定:一般物価水準(一定)

C:消費、I:投資、M:マネーサプライ、r:金利、L通貨需要、
L:雇用量

上記の方程式群を、外生変数を右辺に集め、内生変数(未知変数)について解くことになります。上記ではIは金利と所得の関数となっていますが質問のようにIを外生変数にすればさらに簡単になります。経済学的には、外生変数(政策変数)をいろいろ操作することで、Y(所得)がどう変わるのか、ということが一番関心事です。したがって、Gの変更(政府支出の操作=財政政策)やMの変更(マネーサプライの操作=金融政策)の効果を見ていることになります。

ごく簡単にいえば、外生変数とは経済モデルを作る人が数値を自由に設定できる「前提条件」にあたります。内生変数とは、前提条件の下で作られた経済モデル(連立方程式)を解いて得られる「未知の変数」という意味です。

高校数学でやった、連立方程式でXの値に適当な数字を入れるとYの値がどうなるか、といったことを難しく言っているだけです。マクロ経済学の初歩ということであれば、IS-LMモデルによるマクロ経済モデル等でしょう。一番簡単なモデルはたとえば以下のようなものです。

YD=C+...続きを読む

Q数学の問題です。 n次のベクトルa,b,cが一次独立の時、以下のベクトルが一次従属になるように定数k

数学の問題です。
n次のベクトルa,b,cが一次独立の時、以下のベクトルが一次従属になるように定数kを求めたい。k=1の時は明らかに一次従属であるが、これ以外のkの値を求めよ。
ka+b+c,a+kb+c,a+b+kc

さっぱりわかりません。手助けお願いします。

Aベストアンサー

う~ん, 「おしい」というべきか「おかしい」というべきか....

まず「a, b, ..., c が一次従属」というのは「a, b, ..., c が一次独立でないこと」であって, 「a, b, ..., c が一次独立」が
ax + by + ... + cz = 0 ならば x = y = ... = z = 0
だから結局「a, b, ..., c が一次従属」を厳密に定義すると
ax + by + ... + cz = 0 となる「全てが 0 ではない」x, y, ..., z が存在する
となる. 「一次結合で書ける」というのはその通りなんだけど, 「どれをどの一次結合で書くか」には任意性があるし選び方を間違えると危険なので注意. 実際には今の場合は問題ないんだけど, 一般には選び方によっては答えが出てこないこともあるからね.

でまあ本当はよくないんだけど例えば
ka+b+c=X(a+kb+c,)+Y(a+b+kc)
が成立するX、Yの組み合わせが存在する
という条件から k の値が求まるはず.

あと「定数kを求めたい」という問題なんだから, 最終的には「k の値はこれだ」って出すことになる.

う~ん, 「おしい」というべきか「おかしい」というべきか....

まず「a, b, ..., c が一次従属」というのは「a, b, ..., c が一次独立でないこと」であって, 「a, b, ..., c が一次独立」が
ax + by + ... + cz = 0 ならば x = y = ... = z = 0
だから結局「a, b, ..., c が一次従属」を厳密に定義すると
ax + by + ... + cz = 0 となる「全てが 0 ではない」x, y, ..., z が存在する
となる. 「一次結合で書ける」というのはその通りなんだけど, 「どれをどの一次結合で書くか」には任意性があるし選び方を間違...続きを読む

Q一次従属の問題

「3個のベクトル
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3) 
 C=(2,1,a) が1次従属であるためには,aはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。  

Aベストアンサー

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
 xA+yB+zC=(0,0,0)
 (x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
 xA+yB+zC
 =x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
 =(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
 =(0,0,0)
より、
 x+y+2z=0 … (1)
 x-2y+z=0 … (2)
 x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
 3y+z=0
 ∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
 (a-2)x+(a-6)y=0
 ∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
 x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
 x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
 {-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
 x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
 -6+4/(a-2)=0
 ∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
 x=5, z=-3
であるから、
 xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
 a=8/3 … (Ans.)

参考URL:http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.html

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求め...続きを読む

Q2階の条件・・

1階の条件とか2階の条件とかって、いったいなんなんですか??わかる方詳しく教えてください!

Aベストアンサー

1階の条件,2階の条件にお答えします.

これは,極地問題であると考えます.
つまり,関数値の極大・極小(まとめて極値)となる値を求める問題です.

関数がy=f(x)であるとして,
f(x)が,x=aで極値をとり,その関数が微分可能であるとき,微分df(a)/dx=0 である.
そして,aの近傍(x≠a)で,関数fが微分可能であるとき,df/dx>0 (x<a) ,df/dx<0 (x<a)
ならば,f(x)はaで極大である.
また,逆にdf/dx<0 (x<a) ,df/dx>0 (x<a)
ならば,f(x)は,aで極小になる.

例題
y=-1/3x^2(xの二乗)+2x
の極値を求めなさい.

導関数を求めると,
dy/dx=-2/3x+2 である.
ここで,1階条件は,この導関数が0となることである.
よって,dy/dx=-2/3x+2 =0とする.
∴x=3 この点で関数は極値をとる.

しかし,これが,極大か極小か分からない場合もある.
(この問題の場合,元の式から,凹関数(上に凸な関数)であることは明白である.よって,X=3の時点で極大であることは分かってしまう.)

先の問題で考えると,
2階の条件として,dy/dx=-2/3x+2
をもう一度,xで微分する.
そうすると,
-2/3<0である.
これは,関数の形状が,上に凸(つまり山形)になっていることに他ならない.逆ならば,値は正で下に凸な関数であり,極値は最小値を与える.

このように,
1階条件で,極値を考え,2階条件でそれが,極大なのか,極小なのかを調べたわけである.

専門ではないですが,経済学で企業の利潤最大化行動
などを分析するのなどに使う常套手段であり,難しいものではありません.
やさしい経済数学の本など参考にしてみてはいかがでしょうか.

1階の条件,2階の条件にお答えします.

これは,極地問題であると考えます.
つまり,関数値の極大・極小(まとめて極値)となる値を求める問題です.

関数がy=f(x)であるとして,
f(x)が,x=aで極値をとり,その関数が微分可能であるとき,微分df(a)/dx=0 である.
そして,aの近傍(x≠a)で,関数fが微分可能であるとき,df/dx>0 (x<a) ,df/dx<0 (x<a)
ならば,f(x)はaで極大である.
また,逆にdf/dx<0 (x<a) ,df/dx>0 (x<a)
ならば,f(x)は,aで極小になる.

例題
y=-1/3...続きを読む

Q○○ゼミ記入→担当教授の名前を記入?

エントリーシートなどでよくゼミ名記入の欄があるのですが、私は今までそのゼミの内容、専攻(例えば『近世文学ゼミ』)の名前を書いていましたが(その方が他の人にも分かりやすいと思って…)、どうやら説明会などで周りを見ていると皆、そのゼミの担当教授の名前(例えば『山田太郎ゼミ』など)を書いているようです。

やはり、この欄には担当教授の名前を書くべきなのでしょうか?
今まで専攻のゼミ名を書いてエントリーシートを提出していたので、心配になって来てしまいました。。

どなたか教えて下さい!よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

結論から言えばどちらでも良いと思います。

担当教授が、その研究分野で知名度が高い場合は
教授名を書いておくと良いような気がします。
また、履歴書の中の自己アピールのような欄に、
これまでの研究について書いていく場合は、
同じく担当教授名を書いておけばよいと思います。

そうでない場合は、あなたがなさってきたように
ゼミの内容を書かれているほうが、面接をする側にとって親切だし、これまで勉強してきた内容をアピールしやすいので良いと思います。

納得のいく就活をしてくださいね☆

Qシグマなど文字を含んだままでの微分の仕方

最適化問題では微分が使われますが、Σや掛け算を省略するπが含まれていることも多々あります。また、文字を含んだまま計算しなければならないと思いますが、微分をするときにΣとπをどのように扱ったらよいかわかりません。
省略されているものをバラバラにしないで計算する方法をΣとπを例にとって教えてください。

Aベストアンサー

和の方は、
d/dx{Σfi(x)} = Σfi'(x)
または
d/d xi {Σf(xi)} = f'(xi)
になります。
前者は例えば、
fi(x) = x^i
Σfi(x) = x + x^2 + ...
のような式を x について微分した場合で、後者は例えば
f(x) = x^2
Σf(xi) = x1^2 + x2^2 + ...
のような式を xi について微分した場合です。

積については
d/d xi Πfi(x) = Π[j≠1]f(xj) f'(x1) + Π[j≠2]f(xj) f'(x2) + ...
= ΣΠ[j≠i]f(xj) f'(xi)
または
d/d xi Πf(xi) = Π[j≠i]f(xj) f'(xi)
になります。
前者は関数の積の微分であり、後者は微分しない変数は定数として扱っています(この意味では偏微分です)。


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