
No.4
- 回答日時:
ああ、私は勘違いをしていたのですね。
つまり、★(星型)も凸集合ではない。
領域として考えたから間違えてしまったんだーー!!!!。
なるほど、たしかにx軸も凸集合ですな。
定義は広辞苑に載ってましたよ。
No.3
- 回答日時:
定義は newtype さんがいっていますので、簡単な例をだします。
円「●」(内部を含む)、三角「▲」(内部を含む)、一点のみ「・」、x軸、等は凸集合。
違う例は「く」の字、三日月、など。あとよく言うのは「凸」の字(内部を含む)は凸集合ではないです。
No.2
- 回答日時:
凸関数を考えればよいのかなあ。
凸集合…y≧e^x,y≦logx,y≧x^2…etc
凸集合でない…y≧x、y≦x^3,…etc
凸関数には面白い性質があり、f(x)は区間Iで下に凸とし、aをIの点とするとき、(関数f(x)が区間Iで下に凸⇒f"(x)>0)
f(x)≧f(a)+f'(a)(x-a)が成り立つ。
証明
F(x)=f(x)-{f(p)+f'(p)(x-p)}とおくと、
F'(x)=f'(x)-f'(p)…(1)
題意よりf'(x)は全実数で連続かつ微分可能だから平均値の定理より、
f'(x)-f'(p)/x-p=f"(c)
⇔f'(x)-f'(p)=F"(c)(x-p)…(2) (cはpとxの間の数)
なるcの値が存在する。
よって(1),(2)より、
F'(x)=f"(c)(x-p)
仮定より、f"(x)>0より、f"(c)>0なので
∴F'(x)の正負⇔x-pの正負
∴F(x)≧F(p)=0
∴題意成立
この式を使うとたとえば相加相乗平均の不等式が求められる。
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