測度０の集合の補集合は稠密？

「AがR^nで測度０のときその補集合はR^nで稠密になることは明らか」
とあったのですがどうやって示せばいいのかわかりません．
イメージ的には納得いきますが．．．
証明の方法を教えてほしいです．よろしくお願いいたします．

No.1 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2007/04/27 17:48

一般の測度でやると反例があるので、ルベーグ測度と明記しておくべきです。

さて、まず集合論の簡単な復習から。AをR^nの任意の集合とするとき、int(A)でAの内点全体を表すことにします。またc(A)でAの閉包を表すことにしましょう。int(A)はAに含まれる最大の開集合、c(A)はAを含む最小の閉集合なので、
int(A)=∪G（ただしG:openはAに含まれる）
c(A)=∩F（ただしF:closedはAを含む）
と表現することが出来ます。したがって、^cで補集合を取る操作を表すとすると、
{int(A)}^c=(∪G)^c=(∩G^c)=(*)
です。G^cはA^cを含む閉集合全体を動けますから、
(*)=c(A^c)
です。結局、{int(A)}^c=c(A^c)なわけです。この主張はいろいろな所でよく使うので、記憶されているとよいと思います。

さて、μ(A)=0ということはAは内点を持ちません（持てば測度は必ず正になります）から、int(A)=φですが、この補集合をとれば、c(A^c)=R^nです。すなわちA^cはR^nで稠密です。

この回答への補足

どうもありがとうございます．
内点をもてば必ず正の測度をもつというのはルベーグ測度では成り立ち一般の測度では成り立たないということでしょうか？

補足日時：2007/04/27 19:27

No.2 回答者： adinat 回答日時： 2007/04/27 19:42

> 内点をもてば必ず正の測度をもつというのは

> ルベーグ測度では成り立ち一般の測度では成
> り立たないということでしょうか？

そうです。極端な例では、全測度が0になるような測度を考えると、明らかに反例です。どんな集合でも測度0ですから。そこまで極端な例でなくても、μをルベーグ測度として、C⊆R^nをある可測集合とするとき、μ_C(A):=μ(A∩C)で測度μ_Cを定義してやると、これも反例です。ルベーグ測度をCに制限した測度と呼ばれますが、Cの外の集合は内点があろうがなかろうが、測度0です。

もっと一般に、ルベーグ測度に特異な測度を考えるとたくさん反例があります。たとえばカントール測度などは、カントール集合にしかmassを持たないので、明らかに反例を与えます。

full supportな測度、すなわち任意の球に対して、その測度が0にならないような測度でないと、このような主張は成り立たないというわけです。