固有値に関する質問

例えば(８、－１１，２)
(4、-5，1)
(-1，3，0)
の行列は重解で１の固有値を持つので答えを求めるには３つ必要なので固有ベクトルのかずは３つと分かるのですがそもそも１つの固有値が固有ベクトルをいくつもつかどのように求めますか
また固有値１のみのときはジョルダン標準形はどのようになりますか

質問者からの補足コメント

• すいません
  固有ベクトルが１次元はどこで分かりましたか

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/11/29 22:32

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 21:12

＞ 固有値が1のみのときでも3つすべての場合があり得るということですか?

微妙な聞き方だけれど...
もとの行列によっては、3つすべての場合があり得る。
ひとつの行列に対しては、３つのうちのどれになるかは決まっている。

＞ 解き方によってジョルダンの並び方は変わるということであってますか?

固有値の一方が重根で、固有ベクトルが2本しかない3次行列の
ジョルダン標準形を
a　1　0
0　a　0
0　0　b
にすることも
b　0　0
0　a　1
0　0　a
にすることもできるという意味では、そのとおりです。
どちらになるかは、ジョルダン標準形への変換行列の作り方で変わります。

両方とも、既に No.2 に書いたとおりですよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます
つまり私が例に出した行列では
1　0　0
0　1　0
0　0　1,

1　1　0
0　1　0
0　0　1,

1　1　0
0　1　1
0　0　1のどれにでもなる可能性があるということになりますか

お礼日時：2020/11/29 21:16

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/30 00:17

「固有ベクトルが 1次元」は「固有空間が 1次元」とすべきではないだろうか＞#5.

あ, ふつうに固有ベクトルを求めればわかるよ.

この回答へのお礼

ありがとうございます
固有値が１ひとつでなく固有値を2つもつ１、-1(重解)や固有値を2つもつ１、－１、２の場合も３つの内のどれかになるということでしょうか

お礼日時：2020/11/30 11:15

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 21:34

＞ つまり私が例に出した行列では

＞ 1　0　0
＞ 0　1　0
＞ 0　0　1,
＞
＞
＞ 1　1　0
＞ 0　1　0
＞ 0　0　1,
＞
＞ 1　1　0
＞ 0　1　1
＞ 0　0　1のどれにでもなる可能性があるということになりますか

かなり無理な曲解ですね。
「ひとつの行列に対しては、３つのうちのどれになるかは決まっている」
と書きましたよ？ どこをどう解釈したら、そうとれるんですか。
数学力は国語力とは、よく言ったものです。

(８,-１１，２)
(4,-5，1)
(-1，3，0)
は、固有値 1 を3重根に持ち、固有ベクトルは１次元しかない行列で
ジョルダン標準形は
1　0　0
0　1　0
0　0　1
しかありません。ジョルダン胞が1個なので、それを並べ替える余地もない。

この回答へのお礼

ありがとうございます
そういうことでしたか
いまいち理解できていませんでした

お礼日時：2020/11/29 21:58

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 20:59

いや、

a　0　0
0　b　0
0　0　c

の a,b,c が
a = b = c であっても、
a = b ≠ c であっても
構わない。

この回答へのお礼

ありがとうございます
固有値が1のみのときでも3つすべての場合があり得るということですか?

もしそうなら場合は解き方によってジョルダンの並び方は変わるということであってますか?

お礼日時：2020/11/29 21:02

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 20:46

＞ 3つのどれでもいいのでしょうか

＞ それとも行列により異なりますか

ジョルダン標準形が
a　0　0
0　b　0
0　0　c,

a　1　0
0　a　0
0　0　b,

a　1　0
0　a　1
0　0　a
のどれになるかは、
もとの 3次行列の個性であって
行列ごとに決まっています。

2番めの形の場合に
a　1　0
0　a　0
0　0　b
となるか
b　0　0
0　a　1
0　0　a
となるかは、
変換行列の選び方次第で変わります。

この回答へのお礼

ありがとうございます
つまりaのみの固有値1のみの場合は２番目の形になるということですか

お礼日時：2020/11/29 20:49

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 20:37

「ジョルダン標準形」という言葉を知っているのなら、

その質問の答えは既に知ってるはずなんだがなあ...

全ての行列が対角化可能なわけではないのだから、
「固有ベクトルのかずは３つと分かるのですが」とはなりません。
ひとつの固有値に属する一次独立な固有ベクトルの個数は
１個以上その固有値の重複度以下であって、
固有値の重複度と同じだけあるとは限らないのです。
固有ベクトルの次元が固有値の重複度と同じであれば、
その行列は対角化することができます。
そうでない行列は、対角行列ではないジョルダン標準形を持ちます。

固有値１のみの３次行列のジョルダン標準形としてあり得るものは、
1　0　0
0　1　0
0　0　1,

1　1　0
0　1　0
0　0　1,

1　1　0
0　1　1
0　0　1
の 3種類、
または、そのジョルダン胞を並べ替えた
1　0　0
0　1　1
0　0　1
だけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます
3つのどれでもいいのでしょうか
それとも行列により異なりますか

お礼日時：2020/11/29 20:39