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これってこれの(2)で1/2CV^2の式を使うとなぜだめなのでしょうか?

「これってこれの(2)で1/2CV^2の式」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • すみません、2枚目を貼り忘れてしまいました。
    1/2C'V^2+W2=1/2CV^2と立てたら答えが違ってたので、これがどうしてだめなのか知りたいです

    「これってこれの(2)で1/2CV^2の式」の補足画像1
      補足日時:2020/12/21 06:13

A 回答 (4件)

(1)では 電源とコンデンサがループをなしているので


電源が強制的にコンデンサの電圧をVに保っている
ゆえに、Q=CVという式において Vは不変で
QとCが連動して変化する
(CがC'に変化すればQも連動してQ'に変化するがVはVのままで変化しない
別表現すれば 比例定数がVでQはCに比例という状態)
だから(1)では変動のない Vを用いて
1/2C'V^2+W=1/2CV^2 という式に矛盾はないが
もし、(1/2)(Q²/C')+W=(1/2)(Q²/C)という式を立ててしまうと
Q=CV
Q'=C'Vという対応関係だから
左辺のQは本来Q'でないといけないのに Qを当てはめてしまっているんでこれは矛盾を生じてしまっています

(2)も似たようなこと
今度は電源とコンデンサはループをなしていなんで、電源はないも同然(だから図から電源を消してみる)
(1)で強制的にコンデンサの電圧をVに保っていた電源がないのだから
(2)では、Vが不変とは最早言い難い
逆に、コンデンサのプラス極板とマイナス極板の間は隙間があり、つながっていないし、回路はループをなしていなくて導線で極板同士が結ばれているわけでもないので プラス極板とマイナス極板に存在する電荷はその場から移動することができない
つまり、Qは変化しない
まとめると Q=CVという式において
CとVは連動して変化するがQはQのままで変わらない
言い換えれば 定数がQでCとVは反比例という状態
だから先ほどと似ていて
Q=CV
Q=C'V'という対応関係だから
誘電体の抜き差し前後でCとC'をしっかり別物として扱い、不変のQを用いて
(1/2)(Q²/C')+W=(1/2)(Q²/C) とするのは矛盾がないが
誘電体の抜き差し前後でCとC'をしっかり別物として扱っているのに
VとV'は別物として扱っていない
1/2C'V^2+W=1/2CV^2  では 本来左辺をV'^2とするべきところが
V^2なんでここが原因で正しい答えが出てこなくなっています
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この回答へのお礼

電池はなにがあってもVを一定に保つものかと勘違いしていました。。
ありがとうございます!

お礼日時:2020/12/21 18:52

No.1 です。


失礼しました。(2) は「スイッチを開いて」ですね。見落としていました。

その場合には、#2 さんがご指摘のように、コンデンサーに荷電する電荷が一定で、静電容量と電圧の両方が変化します。

つまり
(1) 電圧 V が一定で、C → C' に変化する。これに伴い、荷電電荷が
 Q → Q' = C'V
に変化する。(スイッチが閉じているので電圧は一定に維持され、電池から電荷が供給できる)

誘電体挿入前の静電エネルギー
 E1 = (1/2)CV^2 = (1/2)QV = (1/2)Q^2 /C
誘電体挿入後の静電エネルギー
 E2 = (1/2)C'V^2 = (1/2)Q'V = (1/2)(Q')^2 /C'
この場合には「電池」も仕事をしています。

(2) 荷電電荷 Q' が一定で、C' → C に変化する。これに伴い、電圧が
 V → V' = Q' /C
に変化する。(スイッチが開いているので電池から電荷は供給できず、電圧も一定に維持できない)

誘電体挿入状態の静電エネルギー
 E2 = (1/2)C'V^2 = (1/2)Q'V = (1/2)(Q')^2 /C'
誘電体引き出し後の静電エネルギー
 E3 = (1/2)C(V')^2 = (1/2)Q'V' = (1/2)(Q')^2 /C

この場合には電池は仕事をせず(スイッチが開いているのでできない)、エネルギー差は全て外力のした仕事によります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2020/12/21 18:52

(2)で誘電体を抜いたら、今度は電荷が変化出来ず、電圧が変わります。

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>1/2CV^2の式を使うとなぜだめなのでしょうか?



「どこに」ですか?

誘電体を入れたら、静電容量自体が「C」のままではありませんよ?
誘電体を入れたときの静電容量を C' とすれば、そのときの静電エネルギーは
 (1/2)C'V^2
になっています。

その状態から誘電体を引き抜いたら、また元の静電容量に戻りますから、そのときの静電エネルギーは
 (1/2)CV^2
になります。

外力のした仕事が、その「静電エネルギーの差」になります。
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