(1)放物線y^2=4x上の点P(X,Y)における接線が、放物線y^2=-4xと異なる2点で交わる時

(1)放物線y^2=4x上の点P(X,Y)における接線が、放物線y^2=-4xと異なる2点で交わる時、その2点を結ぶ線分の中点をMの座標をYで表せ。

(2) Pが放物線y^2=4x上を動く時、Mの描く図形の方程式を求めよ。

こちらを教えて頂けないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/01/14 18:14

(1) y²=4x

2y dy/dx=4
dy/dx=2/y

点P(X,Y)における接線の方程式は、
y－Y=(2/Y)(x－X)……①
点P(X,Y)は、y²=4x 上の点なので、
Y²=4X
X=Y²/4……②
②を①に代入
y－Y=(2/Y)(x－Y²/4)
y=(2/Y)x －Y/2 + Y
y=(2/Y)x +Y/2 ……③

この接線③と y²=－4x ……⓸
の交点を求めるので、③を⓸に代入
{(2/Y)x +Y/2}²=－4x
(4/Y²)x²+2x+Y²/4=－4x
(4/Y²)x²+6x+Y²/4=0
③と⓸は異なる2点で交わるので、その2点のx座標をα、βとすると、解と係数の関係より、
α+β=－6/(4/Y²)=－(3/2)Y²
中点Mのx座標は、
x=(α+β)/2=－(3/4)Y²……⑤
⑤を③に代入して、
y=(2/Y){－(3/4)Y²}+Y/2=－(3/2)Y+Y/2=－Y

したがって、M (－(3/4)Y² , －Y)

(2)
x=－(3/4)Y²=－3X……⑥（②より）
y=－Y……⑦

⑥より、
X=－x/3……⑥’
⑦より、
Y=－y……⑦’
⑥’、⑦’を②に代入して、
－x/3=(－y)²/4
したがって、Mの描く図形の方程式は、
y²=－(4/3)x