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添付画像の上から解説、1番下が問題です。

解説に載っている場合分けの意味がわかりません。
積分範囲が0から1なのでこのようになっているのでしょうか。

また、x<0のとき、x-tが負だから絶対値を外すときにマイナスをかけているというのは理解できますが、0<=x<1のとき、積分範囲0からxで絶対値をマイナスをつけずに外したり、積分範囲xから1でマイナスをつけて外したりしているのが理解できません。どうやって絶対値の中身の正負を判断しているのでしょうか。

「4ステップ数3」の質問画像
gooドクター

A 回答 (2件)

まず 場合分けの意味からです


絶対値の中身を単純化するためyとします
つまりy=x-t
この問題では 「f(x)=・・・」の右辺はtでの積分なんで
積分の段階ではxは数字扱いとなっています
ゆえに、y=-t+x でこれをグラフ化すると
縦軸がy,横軸がt
傾き-1
y切片が+x の直線です

で、「1」 x<0の場合です
x<0なんで具体的数値は決まりませんが直線の切片はマイナスの位置にあります
実際にグラフを書いてみれば一目瞭然ですが
直線は(0,x)を通るので傾き-1と合わあせて
直線グラフはy軸より右側では横軸(t軸)より下側を通ります
ゆえに積分区間の0≦t≦1ではグラフが横軸より下
すなわち 0≦t≦1ではyがマイナスです
このことから,絶対値中身が負であることを考慮して
|y|=|x-t|=-(x-t)です

「3」1≦xなら y切片が1以上の高さにあり、傾き-1の直線がx軸と交わるのはt=1かその右側となるので
このとき0≦t≦1の部分のグラフのy座標は0以上
ゆえに絶対中身も0以上

「2」 0≦x<1 がやや複雑です
切片が0~1の間となるので、直線グラフとt軸との交点も0~1の間です
(正確にやるなら y=-t+x にy=0を代入 t切片は(x,0)
0≦x<1なんで 横軸と直線グラフの交点は0~1の間)

ゆえに y=-t+xのグラフは0≦t≦1の区間でt軸と交わりy座標がプラスからマイナスに変わります
これを考慮して 
yがプラスとなる区間0≦t≦x

yがマイナスの区間x≦t≦1 
で分けて積分計算です
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その計算には、場合分けがふたつ出てきます。


x での場合分けと t での場合分けを混同しないことです。

まず、被積分関数の絶対値を外すために
x が x<t にあるか x≧t にあるかの場合分け。
それと、その場合分けが 0≦x≦1 という積分区間と
どう絡み合うかのための、t の場合分けです。

t は t<0, 0≦t<1, 1≦t でみっつに場合分け
することになりますね。
x の場合分けが生じるのは 0≦t<1 の場合だけで、
そのときは x<t と t≦x で ∫ を分割することになります。

t<0 のとき、0≦x≦1 の範囲で x-t>0 だから、
|x-t| = (x-t) であって、
∫[0,1] |x-t| dx = ∫[0,1] (x-t) dx
       = (1/2)(1-t)^2 - (1/2)(0-t)^2
       = - t + (1/2).
0≦t<1 のとき、0≦x≦1 の範囲では
  0≦x<t のとき x-t<0 より |x-t| = -(x-t),
  t≦x<1 のとき x-t≧0 より |x-t| = (x-t) だから、
∫[0,1] |x-t| dx = ∫[0,t] -(x-t) dx + ∫[t,1] (x-t) dx
       = { - (1/2)(t-t)^2 + (1/2)(0-t)^2 } + { (1/2)(1-t)^2 - (1/2)(t-t)^2
       = t^2 - t + (1/2).
1≦t のとき、0≦x≦1 の範囲で x-t≦0 だから、
|x-t| = -(x-t) であって、
∫[0,1] |x-t| dx = ∫[0,1] -(x-t) dx
       = - (1/2)(1-t)^2 + (1/2)(0-t)^2
       = t - (1/2).
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