Y=aXのグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式の疑問

前々回　Y=aXのグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式はどのようにして求めたらいいのですかの質問に対して明快な回答を頂きましたが以下の疑問が生じました。
回答の　Y= a/√1+a^2　+1　Xという式は　　⑴　aの値が a < 0 でも成り立ちますか。
　⑵　また、2等分する直線を延長した場合は同様にX軸との関係は2等分されていると考えていいのでしょうか。ナッキーナッキーさん、yhrさんなどよろしくご指導ください。

質問者からの補足コメント

• yhr2さん　早速の回答　痛み入ります。まるで補足のような疑問がおきてくるだろうと予測していたようで----関連して、2倍角の関数の式で　Y=X すなわち　a=1の時は　Y= 2a/1-a^2 X より
  　分母が1-1　0となり ---　Y=0 　X軸になってしまう。　というより正しくは　0で割ることはできないから計算不能　ですから　一般式は成り立たない　ということでしょうか。教えてください

    補足日時：2017/02/23 10:57

• 

  皆さんから　ご指導を頂き本当にうれしく、質問のかいがあります。今回のベストアンサーには
  yhr2 さんとさせていただきますがいいでしょうか。Zincerさんも感謝します。

    補足日時：2017/02/23 15:47

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/23 10:30

前の質問に回答した yhr2 です。

やはり、その疑問に行きつきましたね。

これまでの問題に対して、私もナッキーナッキーさんも、問題の簡単化のために「第１象限」に限定して議論していました。

「X軸と作る角度を2等分する直線」の傾きは、a>0 なら必ず正になるので、特に問題はありませんでした。

「X軸と作る角度を2倍した直線」の傾きは、a>0 という条件を付けても、正になるとは限りません。なので、１つ前の質問の回答では、私は「X軸と作る角度を2倍した直線の傾き」を「0<a<1」の場合と「1<a」の場合とに分けて解きました。
「0<a<1」の場合には「X軸と作る角度を2倍した直線の傾き」も正、
「1<a」の場合には「X軸と作る角度を2倍した直線の傾き」は負になるからです。
結果は、同じ式で表せました。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9645501.html

そのときの回答No.6には、「なお、a<0 のときや、直線と X 軸とのなす角 θ を 180°≦θ<360° にまで拡張すると、符号の取り方が少し複雑になると思います」と書きました。
下記に示すように、a の正負だけでなく、同じ直線に対しても「 X 軸とのなす角」に「θ1」と「θ2」の２種類が存在するからです。

これを整理して解くことは可能です。
「１/2角」の質問への回答のNo.5、「2倍角」の質問への回答のNo.3の解法で、各々の条件を分けて、「２乗項を平方するときの符号」をきちんと考慮すれば、両方の場合分けができます。
その場合に、a=0 や a=±1 などの「特異点」の取り扱いも、きちんと整理するとよいと思います。

これはよい頭の整理になりますから、ぜひご自分でやってみてください。これまでの回答を理解していれば十分に整理できると思います。
これまでの理解が「本物」であるかどうかの「試金石」にもなりますから。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/23 11:04

No.1です。

「補足」に書かれたことについて。

＞関連して、2倍角の関数の式で　Y=X すなわち　a=1の時は　Y= 2a/1-a^2 X より
＞分母が1-1　0となり ---　Y=0 　X軸になってしまう。　というより正しくは　0で割ることはできないから計算不能　ですから　一般式は成り立たない　ということでしょうか。教えてください

はい。一般式は成り立ちません。

a=0 の場合

0<a<1 の場合
a=1 の場合
1<a の場合

-1<a<0 の場合
a= -1 の場合
a<-1 の場合

のそれぞれに場合分けする必要があると思います。

しかも、さらに「2通りの角度の取り方」の場合分けも追加して。

No.3 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/23 13:46

ああ、こちらの分野に投稿されていたんですね(^^;)

yhr2さんの回答で十分ですが、私の手書き解答について説明させて頂きます(^^)
（１）のa<0 の場合は、少し違った式になります。
実は、手書きで 「y=ax より」と書いた後に、
l = √x^2 + a^2・x^2
=x√1 + a^2
としましたが、これは x>0 の仮定のもとに計算してあります。
正確に計算をすると(x<0 も考慮すると)
l = |x|・√1 + a^2
a < 0 で、第２象限(x<0 , y>0 の領域)にある場合は、
x < 0 ですから
l = |x|・√1 + a^2　= － x・√1 + a^2
これより、
x = ーl/√1 + a^2
となり、y = ax より
y = － al/√1 + a^2 ・・・a<0 ですので、y>0 となり、第２象限にあることと矛盾しません(^^)
あとは、手書きと同様に計算しますと
a<0 のときは、y=(ー a)/{√(1 + a^2) － 1}
となります(^^v)

（２）これは、第３象限(x<0 , y<0の領域)にある直線部分の事でしょうか？
であれば、Ｘ軸との関係は２等分されます・・・対頂角を考えれば、納得して頂けると思います。


ちなみに、角度が２倍になった直線の場合ですが、a>1 場合も平行四辺形を利用して求める事ができます(^^)
結果の式は、不思議（？）にも同じになります(◎◎！)
もし、必要であれば、a>1の場合の平行四辺形の利用を手書きでアップしますので、お申し出下さい。
それから、a=1 の場合は分母が０となりますので、計算不能です・・・これを書き落としたのは、明らかに私のミスです・・・ごめんなさいm(_ _)m

蛇足ですが、角度を半分にする問題で、与えられた直線がy=0のときは、以下のようにすれば式が使えます。
y=0 の直線の傾きをa=∞とする（とりあえず、こう解釈しておく）。
y=a/{√(1 + a^2) +1 ・x
の式の分子と分母に 1/a をかけ算する。すると、
y=1/[√{(1/a)^2 + 1} +1/a ] ・x
ここで、1/a = 1/∞ =0 だから
y=x
と出てきます(^^v)
この計算は、突飛なアイディアではなく、高校数学でよく行われる計算ですので、meetonly さんもそのうち勉強されると思います(^^)

No.4 回答者： Zincer 回答日時： 2017/02/23 15:25

お久ぶりのZincerです。

先ずは、「２等分する式」について
＞Y= a/{√（1+a^2）+1}Ｘ
については、私の直線の式からの一般式（Y＝ａＸとＹ＝０の場合）でも導出される式でしたので気にはしておりました。
一応、私の中での解決方法を書いておきます。

厳密には２つの式が導出されますね。
変形の都合上、分母の順番を変えておきます。
①a/{1+√（1+a^2）}
②a/{1ー√（1+a^2）}
の２つの傾きがあります。

①について
a/{1+√（1+a^2）}
＝a｛1ー√（1+a^2）｝／｛1ー（1+a^2）｝：両方に｛1ー√（1+a^2）｝を掛けて分母を有理化
＝a｛1ー√（1+a^2）｝／ーa^2　：分母を計算（1-1＝0）
＝｛1ー√（1+a^2）｝／ーa
＝｛√（1+a^2）－１｝／a

√（1+a^2）をテイラー展開すると
√（1+a^2）＝1＋(a^2)/2-(a^4)/8・・・・・
となるので
lim(a→０）で①式は「０」になることが証明できました。

「テイラー展開」
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/sizensuuga …

②について
a/{1ー√（1+a^2）}
＝a｛1＋√（1+a^2）｝／｛1ー（1+a^2）｝
＝a｛1＋√（1+a^2）｝／ーa^2　
＝｛1＋√（1+a^2）｝／ーa
こちらはテイラー展開不要で
lim(a→０）で②式は「ー∞」になりますが、このままＸ＝0のＹ軸として納得しました。

同様に、２倍角方程式における「a=1」問題についても
傾きが∞なのですから、Ｙ軸として納得はできない物なのでしょうか？

どちらも一般式とは呼べないかもしれませんが、ある特異点はあるものの整合性のある値を出しているように思います。

さて、最初の疑問点（これは２等分角方程式の場合ですよね？）
⑴　aの値が a < 0 でも成り立ちますか。
前述した①②においても問題があるように思いません。

⑵　また、2等分する直線を延長した場合は同様にX軸との関係は2等分されていると考えていいのでしょうか。
こちらについては、解決していますよね？