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数日前に一次関数のグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式について質問しましたが、今回は下のような例題に示したように2等分でなく、2倍になるような直線の式はどのようにして求めたらいいのですか、途中計算も省かないでご指導ください。⑴ Y=3/4X がX軸と作る角度を2倍となるような
一次関数のグラフの式を教えてください。
⑵ 一般式として Y=aX のグラフがX軸と作る角度を2倍となるような一次関数のグラフの式は考えられますか、あればどのような計算で求められるか教えてください。ただし老生は高校の数学まで達していないので中学校の3年までの内容でお願いします。yhr2 さん、ナッキーナッキーさんなど 皆さんよろしくご指導ください。

質問者からの補足コメント

  • つらい・・・

    まず t fumiaki さん---yhr2さん、ナッキーナッキーさんの二人が中学校の学習内容で丁寧に解説してくれています。貴方は三角関数が解らないと出来ないというのですか。rabbitさん--高校2年でやるとか---中学の学習を発展させて理解している範囲でより困難な問題に挑むのはダメなんですか。私立の中学校入試の難問は中学、高校の内容のものまであると聞いています。発達段階に応じるのも大切ですが色々な解き方を考えるのも数学の醍醐味ではないですか----yhr2さん、ナッキーナッキーさんのように真摯に対応してくれないのならば答えないでください。

      補足日時:2017/02/22 17:07

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A 回答 (7件)

補足コメントを読ませて頂きました。


まあ、いろんな考え方をされる方たちがいらっしゃいますので、あまり気になさらずに・・・。
多分、meetonlyさんは、数学が凄く楽しいのだと思います(^^)
私も、数学を楽しんでいたとき、こんな事できないかなぁ~、あんな事できないかなぁ~って、いろんな事をやっていました(^^○)
この問題の解答を作るとき、昔の事を思い出しながら、楽しく解かせて頂きましたよぉ~(^0^)
私のボンクラ頭では、ついて来られない物もあると思いますが、少しでも力になれる事があれば幸いです(^^)
これからも、是非、数学を楽しんで下さいね(^^v)
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました。小生は74歳の老生ですが最近全国の数学の高校入試問題に取り組んでいます。(ボケ対策です)もう何十年も以前の事で忘れてしまった内容が多く悪戦苦闘しています。さてこの問題で少々疑問が出てきましたので一旦ベストアンサーを確定して新しく質問しますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2017/02/22 19:56

No.3です。

No.3では、もとの直線 Y=aX で a≠1 という条件を付けて導きましたが、a=0 のときを書いていませんでした。

Y = X のときの「X軸と作る角度を2倍となるような一次関数」は
 X = 0
ですから、

Y=aX と X軸のなす角を2倍にする直線は

0≦a<1、1<a のとき
  y = [ 2a/(1 - a^2) ]x

a=0 のとき
  x = 0

とするのが正しいかな。

なお、a<0 のときや、直線と X 軸とのなす角 θ を 180°≦θ<360° にまで拡張すると、符号の取り方が少し複雑になると思います。
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この回答へのお礼

何度もご指導いただきありがとうございます。この質問での回答に少々疑問が出てきましたので一旦ベストアンサーを確定して新しく質問しますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2017/02/22 19:59

また手書きの画像をアップしておきました(^^)


https://gyazo.com/99781e39712a2fbcc8401ceb792339b3
見づらい点や疑問点がありましたら、また質問して下さい。
って、この前は、質問を見落としていました・・・申し訳ないm(_ _)m
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この問題は、結局のところ、高校2年生で習う tanの2倍角の公式


tan(2θ) = 2tan(θ)/(1-tan^2(θ))
そのものです。
というわけで、普通にいえば、高校で習う内容です。

ただ、高校2年生の教科書を見れば、tanの2倍角の公式(というか加法定理)の公式の導出がちゃんと載っています。
そこで使われているのは、三平方の定理など、中学で習う内容だけです。
そういう意味では、中学の知識でできる問題とも言えます。

もともと、数学という教科は、前の単元で習った内容をもとに、次の単元で新しい概念を導入していくものなわけで、
中学3年までで習う内容で答えろとか縛ることはナンセンスだったりします。
(答案の中で、自分で導出・証明してしまえば、どんな高度な概念も、自由に使えることになってしまうわけで)
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前の質問にも回答した yhr2 です。


前の質問の「No.5」に書いたものは、「Y=aX のX軸と作る角度を2倍にしたものが Y=bX」ということでもあるので、そこで得られた答を
「a を使って b を表す」
という形に逆転させればよいだけです。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9643601.html

やってみましょう。

「Y=aXのグラフがX軸と作る角度を2倍にする直線の式Y=bX」で、a>0 で考えます。
前の質問への回答と違うのは、「X軸と作る角度を2倍にする」ので、a>0 の範囲で考えると、b は負になることもありうるということです。(1<a であれば b<0 になることはすぐにわかる)
そこを場合分けして考えます。

「Y=aX 上の任意の点 P(k、ak)」、k>0 とします。

原点と P の距離は、三平方の定理から
 OP = √[ k^2 + (ak)^2 ] = k√(1 + a^2)   ①
です。

P (k, ak) なので、「P と、P からX軸に立てた垂線の足 Q との距離」は
 PQ = ak   ②
です。

「点 P(k、ak)からY=bXのグラフにおろした垂線の足」を R(s, t) とすると、Y=bX 上の点なので
b>0 ならば s>0
b<0 ならば s<0
です。
 t = bs
で R(s, bs) となります。(いずれの場合でも t=bs>0 )従って
 OR = √[ s^2 + (bs)^2 ] = |s|√(1 + b^2)   ③  ← s は負もありうるので。
一方、②より
 PR = PQ = ak    ④
です。

∠OQP は直角なので、三平方の定理
 OP^2 = OR^2 + PR^2
に、①③④を代入して
 k^2 (1 + a^2) = (1 + b^2)s^2 + (ak)^2
よって
 s^2 = k^2 /(1 + b^2)
k>0 なので
 s = k / √(1 + b^2)   (s>0 のとき)
 s = -k / √(1 + b^2)   (s<0 のとき)
従って、t = bs より
 t = bk / √(1 + b^2)   (s>0 のとき)
 t = -bk / √(1 + b^2)   (s<0 のとき)
よって
 R ( k/√(1 + b^2), bk/√(1 + b^2) )   (s>0 のとき)
 R ( -k/√(1 + b^2), -bk/√(1 + b^2) )   (s<0 のとき)

一方、2点間の距離なので
(a) b>0, s>0 のとき
 PR = √[ (k/√(1 + b^2) - k)^2 + (bk/√(1 + b^2) - ak)^2 ] = PQ = ak
より
 k^2 /(1 + b^2) - 2k^2/√(1 + b^2) + k^2 + b^2k^2 /(1 + b^2) - 2abk^2/√(1 + b^2) + a^2k^2 = a^2k^2
→  (1 + b^2) /(1 + b^2) + 1 - 2/√(1 + b^2) = 2ab/√(1 + b^2)
→  1 - 1/√(1 + b^2) = ab/√(1 + b^2)
→ √(1 + b^2) - 1 = ab
→ √(1 + b^2) = ab + 1
両辺を2乗して
  1 + b^2 = a^2 b^2 + 2ab + 1
→ b^2 (1 - a^2) = 2ab
b≠0 なので
→ b (1 - a^2) = 2a
a≠1 のとき
→ b = 2a/(1 - a^2)    (A)

(b) b<0, s<0 のとき
 PR = √[ (-k/√(1 + b^2) - k)^2 + (-bk/√(1 + b^2) - ak)^2 ] = PQ = ak
より
 k^2 /(1 + b^2) + 2k^2/√(1 + b^2) + k^2 + b^2k^2 /(1 + b^2) + 2abk^2/√(1 + b^2) + a^2k^2 = a^2k^2
→  (1 + b^2) /(1 + b^2) + 1 + 2/√(1 + b^2) = -2ab/√(1 + b^2)
→  1 + 1/√(1 + b^2) = -ab/√(1 + b^2)
→ √(1 + b^2) + 1 = -ab
→ √(1 + b^2) = -ab - 1
両辺を2乗して
  1 + b^2 = a^2 b^2 + 2ab + 1
→ b^2 (1 - a^2) = 2ab
b≠0 なので
→ b (1 - a^2) = 2a
a≠1 のとき
→ b = 2a/(1 - a^2)    (B)

(A)(B)より、b>0 であっても、b<0 であっても、
  b = 2a/(1 - a^2)
となります。
(b>0 となるのは 0<a<1 のとき、b<0 となるのは 1<a のとき)

従って、Y=bX と X軸のなす角を2倍にする直線は
  y = [ 2a/(1 - a^2) ]x
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2点間の距離と「ある直線に直交する直線」がわかれば, 三角関数も点と直線の距離も不必要だけどねぇ>#1. ただ, 「半分の角度」の

方がこっちよりシンプルかもしれん.
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前にも同じ類の質問してましたが、三角関数とか点と直線の距離の計算を使わないと出来ません。



「三角関数は無理だから」と補足してましたが、点と直線の距離はもう少し面倒です。

「直線の距離の公式」で検索して研鑽する事を先ずして見たら如何ですか?
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