画像の①の式を積分するとr^n+1×e^i(n+1)θ/(n+1)となるようですが、どんな積分の公式

Question

画像の①の式を積分するとr^n+1×e^i(n+1)θ/(n+1)となるようですが、どんな積分の公式を使い導いたのでしょうか？
また、
「＞画像の①を積分するとr^n+1×e^i(n+1)θ/(n+1)となりますが

これが言えるのはn≠-1の時だけです。n=-1だと分母が0になることからもおかしいですね。
n=-1の時にはθの存在しな定数関数になるので、0~2πの範囲で積分すれば定数2πが出てくるだけです。なので2πir^(n+1)になります。」と言われたのですが、
2πir^(n+1)がn=1の時0になると思いますが、どうやって2πir^(n+1)がn=1のに0と導いたのでしょうか？
最後に「n=-1以外の場合はr^n+1×e^i(n+1)θ/(n+1)に0と2πを代入したら同じ値になるので、同じ数値同士の引き算で0になります。」と言われたのですが、どの変数にそれぞれ0と2πを代入して同じ数値同士の引き算で0を行ったのでしょうか？

mtrajcp · Accepted Answer

|z-a|=r>0とする
|z-a|=r
↓両辺をrで割ると
|(z-a)/r|=1

複素数(z-a)/rに対して
(z-a)/r=x+iy
となる実数x,yがある
1=|(z-a)/r|=|x+iy|=√(x^2+y^2)
だから
1=√(x^2+y^2)
1=x^2+y^2
だから
x=cosθ,y=sinθとなるθがある
(z-a)/r=x+iy=cosθ+isinθ
(z-a)/r=cosθ+isinθ
↓e^(iθ)=cosθ+isinθだから
(z-a)/r=e^(iθ)
↓両辺にrをかけると
z-a=re^(iθ)

(z-a)^n={re^(iθ)}^n=(r^n)e^(inθ)

dz=ire^(iθ)dθ

だから

∫_{|z-a|=r}{(z-a)^n}dz
=∫_{0～2π}{(r^n)e^(inθ)}ire^(iθ)dθ
=∫_{0～2π}ir^(n+1)e^{i(n+1)θ}dθ
=ir^(n+1)∫_{0～2π}e^{i(n+1)θ}dθ

↓n=-1の時e^{i(n+1)θ}=1,r^(n+1)=r^(-1+1)=r^0=1だから

=i∫_{0～2π}dθ
=i[θ]_{0～2π}
=i2π
=2πi

2πir^(n+1)はn=-1の時0になりません
r^(n+1)はn=-1の時r^(n+1)=r^(-1+1)=r^(0)=1になるから
2πir^(n+1)はn=-1の時2πir^(n+1)=2πiになるのです

∫_{|z-a|=r}{(z-a)^n}dz
=ir^(n+1)∫_{0～2π}e^{i(n+1)θ}dθ

↓n≠-1の時

=ir^(n+1)[e^{i(n+1)θ}/{i(n+1)}]_{0～2π}
=ir^(n+1)[e^{i(n+1)2π}-e^{i(n+1)0}]/{i(n+1)}
=ir^(n+1)[1-1]/{i(n+1)}
=0

θの変数にそれぞれ0と2πを代入して同じ数値同士の引き算で0を行ったのです

mtrajcp · Answer

|z-a|=r
z-a=re^(iθ)

とすると

(z-a)^n={re^(iθ)}^n=(r^n)e^(inθ)

dz=ire^(iθ)dθ

だから

∫_{|z-a|=r}{(z-a)^n}dz
=∫_{0～2π}{(r^n)e^(inθ)}ire^(iθ)dθ
=∫_{0～2π}ir^(n+1)e^{i(n+1)θ}dθ
=ir^(n+1)∫_{0～2π}e^{i(n+1)θ}dθ

↓n=-1の時e^{i(n+1)θ}=1だから

=ir^(n+1)∫_{0～2π}dθ
=ir^(n+1)[θ]_{0～2π}
=ir^(n+1)2π
=2πir^(n+1)

∫_{|z-a|=r}{(z-a)^n}dz
=ir^(n+1)∫_{0～2π}e^{i(n+1)θ}dθ

↓n≠-1の時

=ir^(n+1)[e^{i(n+1)θ}/{i(n+1)}]_{0～2π}
=ir^(n+1)[e^{i(n+1)2π}-e^{i(n+1)0}]/{i(n+1)}
=ir^(n+1)[1-1]/{i(n+1)}
=0

ありものがたり · Answer

使った公式は、∫e^(ct) dt = (1/c)e^(ct) + (積分定数)
だけのようですよ。
∫e^x dx = e^x + (積分定数) を x = ct で変数変換
すると上の式になりますね。 これを使って...

積分路が z = re^(iθ), 0≦θ<2π であれば、
n ≠ -1 のとき
∫{(z-a)^n}dz = ∫(r^n)e^(inθn){ rie^(iθ)}dθ
　　　　　　　= {r^(n+1)}i ∫e^(i(n+1)θ) dθ
　　　　　　　= {r^(n+1)}i { e^(i(n+1)θ) }/{i(n+1)} + (積分定数)
　　　　　　　= {r^(n+1)}{ e^(i(n+1)θ) }/(n+1) + (積分定数)
より
∮{(z-a)^n}dz = ∫[0→2π](r^n)e^(inθ) {rie^(iθ)}dθ
　　　　　　= {r^(n+1)} [ e^(i(n+1)θ) ]_(θ = 0 → 2π) /(n+1)
　　　　　　= {r^(n+1)}{ e^(2π(n+1)i) - e^0 }/(n+1)
　　　　　　= {r^(n+1)}{ 1^(n+1) - 1 }/(n+1)
　　　　　　= 0.

だけど、こんなことしなくても、z のまま積分して
∮{(z-a)^n}dz = [ {(z-a)^(n+1)}/(n+1) ]_(z = a+1 → a+1)
　　　　　　= {1^(n+1)}/(n+1) - {1^(n+1)}/(n+1)
　　　　　　= 1/(n+1) - 1/(n+1)
　　　　　　= 0
でもいいでしょ？ 冪関数に原始関数が在るのは、普通知ってる話だから。

n = -1 の場合も、
∫{(z-a)^-1}dz = log(z-a) + (積分定数)
より
log x の主値を log(1) = 0 を通り 0 ≦ arg x < 2π で連続なもの
にとれば、
∮{(z-a)^-1}dz = lim{b→a+1-0i} [ log(z-a) ]_(z = a+1 → b)
　　　　　　　 = lim{b→a+1-0i} log(b-a) - log(1)
　　　　　　　 = 2πi - 0
　　　　　　　 = 2πi.
特に変数変換は必要ないです。

ここでも、
どうしても z = re^(iθ), 0≦θ<2π が使いたいのであれば、
∮{(z-a)^-1}dz = ∫[0→2π](r^-1)e^(-iθ) {rie^(iθ)}dθ
　　　　　　　 = i∫[0→2π] dθ
　　　　　　　 = i { 2π - 0 }
　　　　　　　 = 2πi
とすればいいけれど、z のまま積分するのと何か違うようにも思えない。

＞ 2πir^(n+1)がn=1の時0になると思いますが、

なりません。 何か誤読しているのでしょう。
「n=1の時」は「n=-1の時」のミスプリでしょうが、
2πir^(n+1) に n=-1 を代入しても
2πir^(n+1) = 2πir^0 = 2πi・1 になるだけで
0 になるわけがありません。

mtrajcp · Answer

#1訂正です
|z-a|=r
z-a=re^(iθ)

とすると

(z-a)^n={re^(iθ)}^n=(r^n)e^(inθ)

dz=ire^(iθ)dθ

だから

∫_{|z-a|=r}{(z-a)^n}dz
=∫_{0～2π}{(r^n)e^(inθ)}ire^(iθ)dθ
=∫_{0～2π}ir^(n+1)e^{i(n+1)θ}dθ
=ir^(n+1)∫_{0～2π}e^{i(n+1)θ}dθ

↓n=-1の時
↓e^{i(n+1)θ}=1
↓r^(n+1)=r^(-1+1)=r^0=1だから

=i∫_{0～2π}dθ
=i[θ]_{0～2π}
=i2π
=2πi

∫_{|z-a|=r}{(z-a)^n}dz
=ir^(n+1)∫_{0～2π}e^{i(n+1)θ}dθ

↓n≠-1の時

=ir^(n+1)[e^{i(n+1)θ}/{i(n+1)}]_{0～2π}
=ir^(n+1)[e^{i(n+1)2π}-e^{i(n+1)0}]/{i(n+1)}
=ir^(n+1)[1-1]/{i(n+1)}
=0

アンドロメダシティ · Answer

＞ 2πir^(n+1)がn=1の時0になると思いますが、
　ならん。n=-1のときもならん。まさかとは思うが

2^0 = 3^0 = (1/5)^0 = π^0 = e^0 = 1

を知らないということはあるまいね。

mtrajcp · Answer

|z-a|=r>0とする
|z-a|=r
↓両辺をrで割ると
|(z-a)/r|=1

複素数(z-a)/rに対して
(z-a)/r=x+iy
となる実数x,yがある
1=|(z-a)/2|=|x+iy|=√(x^2+y^2)
だから
1=√(x^2+y^2)
1=x^2+y^2
だから
x=cosθ,y=sinθとなるθがある
(z-a)/r=x+iy=cosθ+isinθ
(z-a)/r=cosθ+isinθ
↓e^(iθ)=cosθ+isinθだから
(z-a)/r=e^(iθ)
↓両辺にrをかけると
z-a=re^(iθ)

(z-a)^n={re^(iθ)}^n=(r^n)e^(inθ)

dz=ire^(iθ)dθ

だから

∫_{|z-a|=r}{(z-a)^n}dz
=∫_{0～2π}{(r^n)e^(inθ)}ire^(iθ)dθ
=∫_{0～2π}ir^(n+1)e^{i(n+1)θ}dθ
=ir^(n+1)∫_{0～2π}e^{i(n+1)θ}dθ

↓n=-1の時e^{i(n+1)θ}=1,r^(n+1)=r^(-1+1)=r^0=1だから

=i∫_{0～2π}dθ
=i[θ]_{0～2π}
=i2π
=2πi

2πir^(n+1)はn=-1の時0になりません
r^(n+1)はn=-1の時r^(n+1)=r^(-1+1)=r^(0)=1になるから
2πir^(n+1)はn=-1の時2πir^(n+1)=2πiになるのです

∫_{|z-a|=r}{(z-a)^n}dz
=ir^(n+1)∫_{0～2π}e^{i(n+1)θ}dθ

↓n≠-1の時

=ir^(n+1)[e^{i(n+1)θ}/{i(n+1)}]_{0～2π}
=ir^(n+1)[e^{i(n+1)2π}-e^{i(n+1)0}]/{i(n+1)}
=ir^(n+1)[1-1]/{i(n+1)}
=0

θの変数にそれぞれ0と2πを代入して同じ数値同士の引き算で0を行ったのです

ありものがたり · Answer

←補足
どんな公式も何も、

∮{(z-a)^n}dz = [ {(z-a)^(n+1)}/(n+1) ]_(z = a+1 → a+1)
と書いたからには、使った「公式」は、 n≠-1 のとき
∫{(z-a)^n}dz = {(z-a)^(n+1)}/(n+1) + (積分定数)
以外にないでしょう。 これ、誰でも普通知ってるやつだよね。
一番最初に教わる微分の公式だし。

ありものがたり · Answer

＞ なぜlog(b-a)は2πiになり、log(1)は0になるのでしょうか？

まず、log(1)=0 が解らないのなら、
今回の議論はあなたにはまだ早いです。
もう少し手前に学んでおくべきことがあります。
手近の教科書で複素 log の定義について
多少は勉強した上で、 No.2 に書いた
＞ log x の主値を log(1) = 0 を通り 0 ≦ arg x < 2π で連続なもの
＞ にとれば、
の意味を再考してください。
以降の説明は、そこが理解できてからです。

＞ log(b-a)は2πiになり
については、まず、式をちゃんと見ましょう。
log(b-a) が 2πi だとは書いていません。
＞ lim{b→a+1-0i} log(b-a) - log(1)
＞ = 2πi - 0
と書きました。
lim{b→a+1-0i} log(b-a) = 2πi です。
この式は、b→a+1-0i のとき log(b-a) の極限が 2πi だと言っています。
b→a+1-0i は、b が虚軸負方向から a+1 へ近づく極限を表します。
b-a が虚軸負方向から 1 へ近づくということでもあります。
そのときの log(b-a) の極限が log(1) ではなく 2πi だということは、
複素 log の定義を知っていれば判ります。

判らないのは、あなたが、計算の結果に登場する関数の
定義を知らないからです。勉強して出直しましょう。

画像の①の式を積分するとr^n+1×e^i(n+1)θ/(n+1)となるようですが、どんな積分の公式

|z-a|=r

使った公式は、∫e^(ct) dt = (1/c)e^(ct) + (積分定数)

#1訂正です

＞ 2πir^(n+1)がn=1の時0になると思いますが、

|z-a|=r>0とする

|z-a|=r>0とする

←補足

＞ なぜlog(b-a)は2πiになり、log(1)は0になるのでしょうか？

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