nは自然数 n^2と2n+1は互いに素であることを示す問いについて、 解法の一つとしてn^2とn^2

nは自然数　n^2と2n+1は互いに素であることを示す問いについて、
解法の一つとしてn^2とn^2+2n+1が互いに素であることを示せばよいという風に言い換えて連続二数の平方数は互いに素と示すものがあったのですが

何故2n+1にn^2を足してもよいのでしょうか？
「最大公約数gで括れば分かるかと。」とコメントで言われたのですがそれも分かりません　n^2+2n+1=n^2×1+2n+1と剰余式にしたときに互除法からgcm（n^2+2n+1, n^2）＝gcm（n^2, 2n+1）だからなのかとも思いましたが、どういう考え方で導いたのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• すみません、gcmではなくgcdでした

    補足日時：2021/03/18 02:39

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/03/18 05:31

『ｍとｎは互いに素 ⇔ ｍと m+n は互いに素』

上記の性質を利用するために、n²と 2n+1 を足します。
n²と2n+1 は互いに素 ⇔ n²とn²+2n+1 は互いに素

この問題で利用しているのは、
n²とn²+2n+1 は互いに素 ⇒ n²と2n+1 は互いに素

対偶を考えると、
n²と2n+1 は互いに素でない ⇒ n²とn²+2n+1 は互いに素でない
n²と2n+1 は互いに素でないので、最大公約数gで括ると、次のようにおけます。
n²=kg
2n+1=lg
これより、
n²+2n+1=kg+lg=(k+l)g
よって、
n²とn²+2n+1は互いに素ではない。

したがって、
n²とn²+2n+1 は互いに素 ⇒ n²と2n+1 は互いに素

No.4 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/03/18 12:53

n^2と2n+1を見ると、(n+1)^2=n^2+2n+1を思い出すのは、なぜ？と聞かれても習慣です。

慣れれば思い付くようになりますので、思い付いたとしましょう。

n^2と2n+1を見て、n^2と(n+1)^2=n^2+2n+1を利用して証明できないかと考えます。そして、n^2と(n+1^2)=n^2+2n+1が互いに素であること…①は示せたという前提で説明します。

「n^2と2n+1は互いに素である」か、「n^2と2n+1は互いに素ではない」か、のいずれかです。

「n^2と2n+1は互いに素ではない」場合、n^2=pm, 2n+1=qmと表せるので、(n+1)^2=n^2+2n+1=pm+qm=(p+q)mとなります。しかし、それではmがn^2と(n+1)^2の共通の約数になってしまい①に反します。したがって、「n^2と2n+1は互いに素ではない」場合は起こり得ません。

そうすると、残った「n^2と2n+1は互いに素である」に決まります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/18 10:07

＞n^2+2n+1=n^2×1+2n+1と剰余式にしたときに互除法から

＞gcm（n^2+2n+1, n^2）＝gcm（n^2, 2n+1）だからなのかとも思いましたが、

そういう考え方で導いたのです。
他に何が？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/03/18 03:01

なんか前似たような質問があったような.

「どういう考え方で導いたのでしょうか？」というのは「どういう考え方で『何を』導いたのでしょうか？」と聞いているんだろう. 「何を」がないと質問が曖昧になるんだけど.