2次正方行列

実数を成分とする2次正方行列P,Q,Xが
PXQ=O
PX≠O
XQ≠O
をみたしているならば、Xには逆行列が
存在することを証明せよ。

教えてください。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/09 11:08

その条件は成り立ち得ないでしょう？

両辺の行列式をとると
｜P｜｜X｜｜Q｜ = 0
｜P｜｜X｜ ≠ 0
｜X｜｜Q｜ ≠ 0
となるけれど、
｜P｜, ｜X｜, ｜Q｜ のうち 0 のものはどれ？

それとも、「ならば」の定義によって
前提が成り立たなければ命題は真だってこと？

この回答へのお礼

そんなはずは…。

お礼日時：2021/05/18 16:14

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/09 11:09

ああ、寝ぼけてた。

PX ≠ O から
｜P｜｜X｜ ≠ 0 は導けないね。

この回答へのお礼

そうですね…。

P=
10
00

Q=
00
01

X=
10
01

のような例がありますので、前提が成り立たないなどということはないかと…。

お礼日時：2021/05/09 13:39

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/11 09:21

どうも示せないと思ったら、反例がありました。

P =
　1　0　0
　0　0　0
　0　0　0,
Q =
　0　0　0
　0　1　0
　0　0　0,
X =
　1　0　0
　0　1　0
　0　0　0.

この回答へのお礼

P,Q,Xは2次正方行列です…。

お礼日時：2021/05/12 07:43

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/11 18:39

「2次正方行列」なんだけど, ね＞#3.

ここでは P, Q を「2次正方行列」としているけど実際にはてきとうな形のベクトル p, q に対して
pX ≠ 0, Xq ≠ 0 かつ pXq = 0 なら X は逆行列を持つ
ことを示せば十分. そして, 「X は逆行列を持つ」というのを結論にするのではなく背理法ちっくに
pX ≠ 0, Xq ≠ 0, pXq = 0 で X が逆行列を持たないと矛盾する
というのが多分簡単.

この回答へのお礼

もっと詳しく丁寧に回答していただかないとわかりません…。

お礼日時：2021/05/18 11:30