有効数字の四則計算について

1.以下の計算結果を有効数字の桁を考慮して答えなさい。
①15.333+2.11 - 0.2322 ＝17.2
②(3.25 + 0.5534) × 3.2 ＝12
③1.23 mg + 517 μg ＝1.74
④ 3.5ml ×2.55＝8.93
今、有効数字の四則計算しているんですが、①～④までの計算はこれで大丈夫でしょうか？
④が心配ですが、①～③までも間違えているかもしれないので教えてもらえないでしょうか？

考え方
①は2.11の3桁にそろえるので17.2108ではなく小数点以下第2位までの解答をする。
②は()内を計算し3.8034を3桁し3.80×3.2をする。
③517μgをmgにそろえて0.517＋1.23をして、小数点以下2位までなので1.74
④は普通に計算して2.55の３桁にそろえるので8.925ではなく8.93。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/09 09:53

＞①15.333+2.11 - 0.2322 ＝17.2

間違いです。
「小数点以下2桁目」までは信用できるので
　15.333 + 2.11 - 0.2322 = 17.2108 ≒ 17.21

加減算は「桁数」ではなく「絶対桁」（この場合には小数点以下第2位まで）で考え、計算結果の「小数点以下第3位」を四捨五入します。


＞②(3.25 + 0.5534) × 3.2 ＝12

正しいです。
乗除算は「桁数」で決まるので、「 × 3.2」で「2桁」までしか信用できません。

ただし、きちんと正確に書けば

　(3.25 + 0.5534) × 3.2 ＝12.17088 ≒ 12


＞③1.23 mg + 517 μg ＝1.74

間違い。計算結果に「単位」が書かれていないから。
しかも、最終桁の丸め方が間違っています。計算結果の小数点以下第3位を四捨五入します。
四捨五入は、計算途中で行うと計算のたびに誤差が大きくなるので、最終結果に対して行うのが鉄則です。

1.23 mg + 0.517 mg = 1.747 mg ≒ 1.75 mg

＞④ 3.5ml ×2.55＝8.93

これも「単位が書かれていない」時点で間違い。
「2.55」が無次元なら、計算結果は「mL」になるはず。
（ここでは、「小文字のエル」（たぶん「リットル」ですね？）は「数字の壱」と紛らわしいので大文字の「L」を使います）

また、乗除算なので「桁数」で決まり、「3.5」が2桁なので計算結果も2桁しか信用できません。
②を「2桁」にして、これを「3桁」にした理由・根拠は何ですか？

　3.5 mL × 2.55 = 8.925 mL ≒ 8.9 mL

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

以下、「有効数字」に関する一般論。

「有効数字」とは、計算処理などによって「端数」が出た場合に、どこまでの桁を表示するか、どこまでの桁を「信用できる」と判断するかという数値の処理方法です。

通常は、問題の条件で与えられた数値と同じ桁数までは「信用できる」として、その１つ下の桁の数値を「四捨五入」して結果の数値とします。
与えられた数値の桁がまちまちの場合には、最も少ない桁数に合わせます。
ただし、これは「加減乗除算」が混在している場合の話で、「加減算だけ」「乗除算だけ」の場合にはそれぞれ対応の仕方が異なります。

そもそも「有効数字」とは、本当はきちんと「誤差」を明記しないといけないところを、簡易的に「表示する桁数」として処理する方法です。
基本は、
　〇.〇〇
と書かれた数値があったら、表示された桁の１つ下に
　〇.〇〇 ± 0.005
の誤差を持っていると考えることです。
（正確には、-0.005、+0.00499999･･･ の「小数点以下３桁目を四捨五入した、と考える)
これをたとえば「100倍」したら
　〇〇〇 ± 0.5
になって、信用できる数字は整数桁までのやはり「3桁」で、小数以下は「誤差」ということになります。

加減算の場合には
　〇.〇〇 ± 0.005
と
　〇.〇〇〇 ± 0.0005
を足し合わせたら、
　△.△△△ ± (0.0045～0.0055)
または桁上がりすれば
　△△.△△△ ± (0.0045～0.0055)
になりますが、「誤差」の部分を見れば分かるとおり、小数点以下第2位までは「信用できる」と言えます。
従って「信用できる計算結果」は
　△△.△△
となります。
「桁数」で「3桁」にして「△△.△」ではなく、「絶対桁」で「小数点以下第2位までは信用できる」と考えて「△△.△△」です。
「桁数」で判断すると、「桁上がり」の有無で最小表示桁が変わるというおかしなことにもなります。


なお、「有効数字」というものは、高校生までが使う「簡易的なやり方」と考えればよいもので、数学的にも科学的にも、たいして意味のあるものではありません。
あくまで、本来は計算処理による「誤差の伝播」を「誤差は正規分布する」という仮定で統計的に処理しなければいけません。「有効数字」はその「簡易版」です。

興味があれば、こんなサイトを参考にしてください。考え方が書いてあります。
↓
https://eman-physics.net/math/figures.html
https://eman-physics.net/math/figures2.html

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/06/09 11:20

＞①は2.11の3桁にそろえるので・・・

では無くて、2.11 は 小数点以下が2桁なので、
答えも 小数点以下を2桁にします。
つまり 小数点以下の3桁目を 四捨五入します。
15.333+2.11-0.2322=17.2108≒17.21 。

＞0.517＋1.23をして、小数点以下2位までなので1.74

0.517+1.23=1.747≒1.75 になりますよ。
小数点以下の3桁目を 四捨五入します。

④ 普通に計算すれば 3.5x2.55=8.925 で、
3.5mL は 小数点以下が 1桁ですから
答えも 2桁目を四捨五入して 小数点以下1桁で答えます。
つまり 8.925≒8.9 。