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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
それぞれの式に代入して,a,b,c,dに関する4元連立一
次方程式を解いてもいいわけですが,めんどくさいです
よね。だから,文字数をできるだけ減らしましょう。具
体的には以下の通りです。
f'(1)=f'(2)=0
なので
f'(x)=3a(x-1)(x-2)=3ax^2-9ax+6a
となるから,係数比較して
2b=-9a⇔b=-9a/2, c=6a
よって
f(x)=ax^3+(-9a/2)x^2+6ax+d
となり,bとcが消去できたのでずっとラクです。
ここから
f(1)=-1/12
f(2)=1/12
を代入すればいいです。ちなみに答えは
a=-1/3,b=3/2,c=-2,d=3/4
です。
x=pで極値⇒f'(p)=0(逆は成り立たない)
をうまく使って下さい。
No.4
- 回答日時:
他の方と同じようなことですが・・・。
出てきた4つの式は4元連立方程式というもので、これを解くには、文字(未知数)を1つずつ減らしていけばよい訳です。
例えば、まずdを含まない式を3つ作ります。そのためには、初めの4つの式のうち、2つの式はdを含んでいませんから、dを含む他の2つの式からdをなくした式を1つ導きます。(2つの式の両辺の差を取ればよいでしょう。)すると、dを含まない式が合わせて3つできます。これが、3元連立方程式と呼ばれるものです。
後は同じようにして、この3元連立方程式から、例えばcを消去したa,bだけを含む2つの式から成る2元連立方程式を作ります。(これはもう解けると思いますが・・・。)
そして、最後には例えばbを消去したaだけを含む1つの式から成る1元(連立)方程式を作ります。これは解けますから、aが求まり、aが求まればbが求まり、a,bが求まればcも求まり、a,b,cが求まればdも求まります。
なお、この問題の解法で、a,b,c,dの4元連立方程式を解くのは嫌だというのであれば、
f´(x)=A(x-1)(x-2)
=Ax^2-3Ax+2A
とおいてみると、
f(x)=(A/3)x^3-(3A/2)x^2+2Ax+d ・・・ (1)
と表せるので、
f(1)=-1/12
f(2)= 1/12
より、Aとdの2元連立方程式を作り、それを解けばAとdが求まり、(1)に代入して、f(x)を求めることもできます。
No.3
- 回答日時:
未知数は、a,b,c,dの4つで式も4つですので、単なる4元連立方程式です。
なので、文字を一つずつ消去すれば、解くことができます。まぁ、それは非常に面倒なので、別の方法をいくつか紹介します。(といっても、ここに書いたこと以上のことは考えてないので、面倒なのも含まれているかもしれません)
f'(x)=3a(x-1)(x-2)
より、b,cをaを用いて表す。
f(1)=-1/12,f(2)=1/12からa,dを求める。
y=f(x)は、変極点(3/2,0)に関して点対称であることから、
f(x)=a(x-3/2)^3+e(x-3/2)
と表せる。f'(1)=0,f(1)=-1/12からa,eを決定。(f'(2)=0,f(2)=1/12からでもいい)
極大と極小を結ぶ直線(y=x/6-1/4)が変極点(極大と極小の中点)を通るので、
f(x)-x/6+1/4=a(x-1)(x-2)(x-3/2)
さらに、f'(1)=0の条件から、aを決定。(f'(2)=0からでもいい)
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