<微分> ３次関数の微分の問題

3次関数f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋dがｘ＝１で極小値-1/12をとり、ｘ＝２で極大値1/12をとる。
定数a,b,c,dを求めよ

という問題です。

f'(x)＝3ax^2＋2bx＋ｃ　として、
f'(１)＝０
f'(２)＝０
f(1)＝-1/12
f(2)＝1/12　　　
この4つの式からabcdを使った式を出したのですが、
どのように変形すれば答えが出るのでしょうか？
教えていただければ幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： kougakubudesu 回答日時： 2005/02/28 23:29

それぞれの式に代入して,a,b,c,dに関する4元連立一

次方程式を解いてもいいわけですが,めんどくさいです
よね。だから,文字数をできるだけ減らしましょう。具
体的には以下の通りです。
f'(１)＝f'(２)＝０
なので
f'(x)＝３a(x-１)(x-２)=３ax^２－９ax+６a
となるから,係数比較して
２b＝－９a⇔b＝-９a/２, c＝６a
よって
f(x)＝ax^３+(-９a/２)x^２+６ax+d
となり,bとcが消去できたのでずっとラクです。
ここから
f(1)＝-1/12
f(2)＝1/12　
を代入すればいいです。ちなみに答えは
a＝-１/３,b=３/２,c=-２,d=３/４
です。
　 x=pで極値⇒f'(p)=０(逆は成り立たない)
をうまく使って下さい。　　

No.4 回答者： quantum2000 回答日時： 2005/03/01 00:02

他の方と同じようなことですが・・・。

出てきた４つの式は４元連立方程式というもので、これを解くには、文字（未知数）を１つずつ減らしていけばよい訳です。
例えば、まずｄを含まない式を３つ作ります。そのためには、初めの４つの式のうち、２つの式はｄを含んでいませんから、ｄを含む他の２つの式からｄをなくした式を１つ導きます。（２つの式の両辺の差を取ればよいでしょう。）すると、ｄを含まない式が合わせて３つできます。これが、３元連立方程式と呼ばれるものです。
後は同じようにして、この３元連立方程式から、例えばｃを消去したａ，ｂだけを含む２つの式から成る２元連立方程式を作ります。（これはもう解けると思いますが・・・。）
そして、最後には例えばｂを消去したａだけを含む１つの式から成る１元（連立）方程式を作ります。これは解けますから、ａが求まり、ａが求まればｂが求まり、ａ，ｂが求まればｃも求まり、ａ，ｂ，ｃが求まればｄも求まります。

なお、この問題の解法で、ａ，ｂ，ｃ，ｄの４元連立方程式を解くのは嫌だというのであれば、
　　ｆ´（ｘ）＝Ａ（ｘ－１）（ｘ－２）
　　　　　＝Ａｘ＾２－３Ａｘ＋２Ａ
とおいてみると、
　　ｆ（ｘ）＝（Ａ／３）ｘ＾３－（３Ａ／２）ｘ＾２＋２Ａｘ＋ｄ　・・・ (1)
と表せるので、
　　ｆ（１）＝－１／１２
　　ｆ（２）＝　１／１２
より、Ａとｄの２元連立方程式を作り、それを解けばＡとｄが求まり、(1)に代入して、ｆ（ｘ）を求めることもできます。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2005/02/28 23:32

未知数は、a,b,c,dの4つで式も4つですので、単なる4元連立方程式です。

なので、文字を一つずつ消去すれば、解くことができます。

まぁ、それは非常に面倒なので、別の方法をいくつか紹介します。(といっても、ここに書いたこと以上のことは考えてないので、面倒なのも含まれているかもしれません)

f'(x)=3a(x-1)(x-2)
より、b,cをaを用いて表す。
f(1)=-1/12,f(2)=1/12からa,dを求める。

y=f(x)は、変極点(3/2,0)に関して点対称であることから、
f(x)=a(x-3/2)^3+e(x-3/2)
と表せる。f'(1)=0,f(1)=-1/12からa,eを決定。(f'(2)=0,f(2)=1/12からでもいい)


極大と極小を結ぶ直線(y=x/6-1/4)が変極点(極大と極小の中点)を通るので、
f(x)-x/6+1/4=a(x-1)(x-2)(x-3/2)
さらに、f'(1)=0の条件から、aを決定。(f'(2)=0からでもいい)

No.1 回答者： proto 回答日時： 2005/02/28 23:26

４元１次の連立方程式になると思うので

普通に文字を１つづつ消去していけばいいですよ
未知数が4、式が4なので答えが出るはずです