高一 数学

a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc
を因数分解した時の式を教えて欲しいです*_ _)

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/22 14:12

多変数の多項式を因数分解するときの基本は、

どれかひとつの変数に着目して一変数の式として考えること。
その際、なるべく次数の低い変数に着目するのがよいが、
今回は a,b,c について対称な式だから、どれに着目しても同じ。

与式を a についての二次式と見て因数分解する計算を
No.3 の人が示している。(b や c でやっても同じ)

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/21 21:51

難しく考えない。

うまいことやろうとかも考えないで、単に手を動かすんです。
　　a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b) + 2abc
まずは（aだけが変数だと思って）aについて降べきの順に整理すると、
　　(b + c)a² + (b²+ 2bc + c²)a + b²c + bc²
さて、aの0次の項を因数分解できんかな？
　　(b + c)a² + (b² + 2bc + c²)a + (b + c)bc
次にaの1次の項も考えてみよう。
　　(b + c)a² + (b + c)²a + (b + c)bc
ということは
　　(b + c)(a² + (b + c)a + bc)
あ、これならできるな。
…というふうにやればいいんです。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2023/04/21 16:45

No.4が言われているように　この式は　3次の対称式であり

与式=f (a,b,c) とすれば b=-a　　　.....(1)
とおれば　つまり
f(a,-a,c)=a^2(-a+c)+a^2(c+a)+c^2(a-a)-2c・a^2=0
となるから因数定理によって　この式は(1)より　(a+b)
という因数をもち　対称式だから　同様に　(b+c),(c+a)
という因数も持つから
与式=m(a+b)(b+c)(c+a) とおけるから
a=b=c=1 とおれば　
左辺=1・(1+1)+1・(1+1)+1・(1+1)+2・1^3=8
右辺=m(1+1)(1+1)(1+1)=m・2^3=m・8
よって　m=1 だから
与式=(a+b)(b+c)(c+a) となる。

No.5 回答者： 玉ノ丞 回答日時： 2023/04/21 05:40

まず、a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abcの各項から、a,b,cの公因数を取り出します。

a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc　＝　a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 2abc

このままでは、因数分解ができそうにありませんが、最後の項を-2abcから+2abcに変形すると、以下のように書き換えることができます。

a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 + 2abc - 4abc

ここで、a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 + 2abc = [(b+c)^2a + (c+a)^2b + (a+b)^2c + 2abc]という形になることに注目します。この式の括弧の中を括り出すと、

(b+c)^2a + (c+a)^2b + (a+b)^2c + 2abc = a(b^2+2bc+c^2) + b(c^2+2ac+a^2) + c(a^2+2ab+b^2)

となります。これを整理して、以下のように因数分解することができます。

a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc = [(b+c)^2a + (c+a)^2b + (a+b)^2c + 2abc]/2 - 2abc
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= [a(b^2+2bc+c^2) + b(c^2+2ac+a^2) + c(a^2+2ab+b^2)]/2 - 2abc
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= [(a+b)(b+c)(c+a)]/2 - 2abc

よって、a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc = [(a+b)(b+c)(c+a)]/2 - 2abc　が因数分解された式になります。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/20 21:10

問題の式を見ると、a, b, c のどれかを入れ替えても 同じ式になる。

この様な式の時は、2abc を省いた 3つの項の 1つを残して、
後を 展開する。
例えば c²(a+b) を残して 後を展開すれば、
展開した式から 必ず (a+b) の因子が出てきます。
c²(a+b)+a²b+a²c+b²c+ab²+2abc
=c²(a+b)+a²b+ab²+a²c+2abc+b²c
=c²(a+b)+ab(a+b)+c(a+b)²
=(a+b){c²+ab+c(a+b)}
=(a+b)(c²+ac+ab+bc)
=(a+b){c(c+a)+b(c+a)}
=(a+b)(b+c)(c+a) 。

No.3 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2023/04/20 19:19

a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)+2abc

＝a²(b+c)+b²c+ab²+ac²+bc²+2abc
＝a²(b+c)+a(b²+c²+2bc)+(b²c+bc²)
＝a²(b+c)+a(b+c)²+bc(b+c)
＝(b+c){a²+a(b+c)+bc}
＝(b+c)(a²+ab+ac+bc)
＝(b+c)(a²+ac+ab+bc)
＝(b+c){(a²+ac)+(ab+bc)}
＝(b+c){a(a+c)+b(a+c)}
＝(b+c){(a+c)(a+b)}
＝(b+c)(a+c)(a+b)
＝(a+b)(b+c)(c+a)

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/20 18:50

(b+a)(c+a)(c+b)

No.1 回答者： raizo-ichikawa 回答日時： 2023/04/20 18:48

(a+b)(b+c)(c+a)