ε-n論法について

微積分の本を読んでいたのですが、数列の収束の話で以下のような例が載っていました。

例
an＝(-1)^n/n^2とするとanは0に収束する。なぜならNをN+1>1/√εとなるように取って収束の定義に適用すれば良いから。

他には
例
an＝1/nとする。これが0に収束することを示す。
ε>0を任意に選んで固定する。アルキメデスの原理よりN+1>1/εを満たす自然数Nが存在する。そのようなNをひとつ取るとn>Nのとき常に|an-0|＝1/n≦1/(N+1)＜ε
εは任意なのでanは0に収束する。

どちらの例もN+1の部分がNじゃ不都合があるのでしょうか？1つ目の例で私が考えた証明は

N＝1/√εとするとn>Nのとき
|an-0|＝1/(n^2)<1/(N^2)＝εよりanは0に収束する。

でした。これでもいいのかN+1としなければいけないのか教えて頂きたいです。

加えて2つ目の例の途中にでてきた"アルキメデスの原理よりN+1>1/εを満たす自然数Nが存在する。"
というのはアルキメデスの原理の主張「どのような正の数よりも大きい自然数が取れる」ということを表したのかと思ったのですがこれもN+1じゃないといけないのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/24 16:43

N=1/√ε

左辺は整数右辺は実数だから
等しくなる
Nが存在するとは限らないので
ダメです

N>1/√ε
となる自然数Nが存在する
n>N
のとき
|a_n-0|=1/(n^2)<1/N^2<ε
より
a_nは0に収束する
とすべき

なお　N+1 である必要はありません

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/24 16:45

基本的にあなたの考えでよいです。

ただ、1/√εは正の整数とは限らないので、「N＝1/√εとする」ことは
できない。「N＝[1/√ε] とする」か「N>1/√εとする」とでもしてお
けばよいです。

2番目も同様です。