微分方程式

微分方程式の問題のこの2番がどうしても解くことができず来週にテストが控えていてとても困っていてかつ急いでるのでどなたか教えてくださる方はいませんか？よろしくお願いします！！！！

質問者からの補足コメント

• ちなみにこれはx=ut^3とおいて定数変化法を用いてやる問題です。

    補足日時：2021/10/31 15:27

• すみません。最初のところのd^2x/dt^2=2c1のところとこの隣の2つのやつはどのように求めるのか教えてくださるとありがたいありです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/10/31 18:02

• すみません。v=du/dotと置けばの後の式の＋2vのまえがどうしてこのような形になるのか教えてくださるとありがたいです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/10/31 20:49

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/31 22:18

(d²u/dt²)t + 2du/dt = 0 が

v = du/dt と置くと (dv/dt)t + 2v = 0 になる理由ですか？

d²u/dt² = (d/dt)(du/dt) = (d/dt)v ですから、後は
du/dt を v で、 d²u/dt² を dv/dt で置き換えるだけです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/31 20:16

＞ これはx=ut^3とおいて定数変化法を用いてやる問題です。

それ、最初に書いてほしかったね。
d²x/dt² - (4/t)(dx/dt) + (6/t²)x = 0 に
x = ut³ を代入すると、
x’ = u’t³ + u(3t²),
x’’ = u’’t³ + 2u’(3t²) + u(6t) より
u’’t³ + 2u’t² = 0 になります。

t > 0 の範囲では (d²u/dt²)t + 2du/dt = 0 ですね。
これを (1) の式と比較すると、 a = 2, b = 0 でよいことが判ります。

更に v = du/dt と置けば、 (dv/dt)t + 2v = 0 です。
この微分方程式は、変数分離形なので用意に解けて
∫dv/v = -2∫dt/t より log v = -2 log t + C {Cは定数},
v = C₁/t² {C₁は定数；C₁=e^C} になります。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/31 19:30

x"-(4/t)x'+(6/t^2)x=0 (t>0)

①
x=c1/t^2とすると
x'=-c1/t^3
x"=c1/t^4
x"-(4/t)x'+(6/t^2)x=c1/t^4+4c1/t^4+6c1/t^4≠0
だから①は解ではない
②
x=c1/tとすると
x'=-c1/t^2
x"=c1/t^3
x"-(4/t)x'+(6/t^2)x=c1/t^3+4c1/t^3+6c1/t^3≠0
だから②も解ではない
③
x=c1とすると
x'=0
x"=0
x"-(4/t)x'+(6/t^2)x=6c1/t^2≠0
だから③も解ではない
④
x=c1tとすると
x'=c1
x"=0
x"-(4/t)x'+(6/t^2)x=-4c1/t+6c1/t≠0
だから④も解ではない
⑤
x=c1t^2とすると
x'=2c1t
x"=2c1
x"-(4/t)x'+(6/t^2)x=2c1-8c1+6c1=0
だから
⑤
x=c1t^2
が解である

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/31 17:23

x"-(4/t)x'+(6/t^2)x=0 (t>0)

の解は
x=c1t^2