高校数学、数列、２項係数の和

画像の級数を求めたいのですが、うまくできません。 答えだけでよいので教えていただけませんでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/01 14:05

「p個からq個を選ぶ」combinationをcomb(p,q)と書くことにする。

　　J(a,b,m) = (a + b)^m
とすると、
　　J(x,y,3n) = Σcomb(3n,t) (x^t)(y^(3n-t)) (t=1～3n)
そして
　　J'(x,y,3n) = (∂/∂x)J(x,y,3n)
とおくと
　　J'(x,y,3n) = (∂/∂x)(x + y)^3n = 3n ((x + y)^(3n - 1))
　　J'(x,y,3n) = Σt comb(3n,t) (x^(t-1))(y^(3n-t)) (t=1～3n)
だから
　　-J'(-1,1,3n) = 3n ((-1 + 1)^(3n - 1)) = 0
　　-J'(-1,1,3n) = Σt comb(3n,t) ((-1)^t) (t=1～3n)
ここで
　　K(r,n) = Σ(3k+r) comb(3n,3k+r) ((-1)^(3k+r)) (k=1～n)
と書くことにすると、
　　 K(0,n) + K(1,n) + K(2,n) = -J'(-1,1,3n) = 0
つまり
　　K(0,n) = -(K(1,n) + K(2,n))
であり、知りたいのは K(0,n)/3 だな。

　一方、1の立方根は1の他に
　　ω = (-1+i√3)/2
　　ω^2 = (-1-i√3)/2
がある。もちろん
　　ω^3 = 1
だから、
　　-ω J'(-ω,1,3n)
　　=Σt comb(3n,t) ((-ω)^t) (t=1～3n)
　　= Σ3k comb(3n,3k) ((-ω)^(3k)) (k=1～n)
　　　+ Σ(3k+1) comb(3n,3k+1) ((-ω)^(3k+1)) (k=1～n)
　　　+ Σ(3k+2) comb(3n,3k+2) ((-ω)^(3k+2)) (k=1～n)
　　= K(0,n) + ωK(1,n) + (ω^2)K(2,n)
　　= ( K(0,n) - (K(1,n) + K(2,n))/2 ) + (i√3)/2 (K(1,n) - K(1,n))
なので、複素数zの実部をRe(z)と書くことにすると
　　Re(-ω J'(-ω,1,3n)) = K(0,n) - (K(1,n) + K(2,n))/2
　　 = (3/2)K(0,n)
細かい計算間違いしてるかもしれんが、ま、こんな感じ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。自分でも解けました。

お礼日時：2021/11/02 07:07