平均との差を標準偏差で割ると、平均が0分散が1になるのはなぜですか？

平均との差を標準偏差で割ると、平均が0分散が1になるのはなぜですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/10 22:20

No.1へのコメントについて。

> ★1がどっから出て来たかわかんないです…

　おお、ソコがポイントでしたか。

　一般にf(i)が何であれ、その「定数(μ)倍の総和」は
　　Σ{i=1〜N} (μ f(i)) = μ (Σ{i=1〜N} f(i))
すなわち「総和の定数(μ)倍」となる。
　これはΣの基本操作なのである！とか言って踏ん反り返るまでもなく、Nが有限の場合には単に
　　μ f(1) + μ f(2) + … + μ f(N) = μ(f(1) + f(2) + … + f(N))
というだけの（小学校の算数でやったはずの）こと。

　これを応用して、f(i) = 1の場合には
　　Σ{i=1〜N} (μ×1) = μ (Σ{i=1〜N} 1)
である。そしてもちろん、μ×1 = μ であり、Σ{i=1〜N} 1 = Nですから、
　　Σ{i=1〜N} μ = Σ{i=1〜N} (μ×1) = μ (Σ{i=1〜N} 1) = μN
というわけ。

　いや、そもそも
　　Σ{i=1〜N} μ
ってのは「同じもの（μ）をN個足す」ってことですから、コタエが μNなのは当たり前ですね。

（ついでながら、このご質問は「正規分布」とは関係ない話です。）

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/09 14:04

平均μ, 標準偏差σの正規分布の確率密度関数が

(1/(σ√(2π)) e^{ -(x - μ)²/(2σ²) } であることを思い出しましょう。
この関数は、ある関数 f( ) があって f( (x - μ)/σ ) という形をしています。
だから、 x と平均との差を標準偏差で割って z と置くと f(z) です。
これを f( (z - 0)/1 ) と解釈すれば、平均0分散1の正規分布になっています。
正規分布というのが、そういう特色をもった分布だったということです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/09 09:51

ランダムな統計量の分布の話ですから、

正規分布のグラフを
・ピーク位置（平均値）を横に平行移動して 0 の位置にもって来る
・横幅を「標準偏差」で割る（68.27% が含まれる範囲が ± 1 になる）
にした「分布」に「する」ということです。

それを「標準正規分布」と呼びます。
「なぜ」ではなくて、「そういう分布になるようにした」ということです。

↓　正規分布のグラフ
https://uxdaystokyo.com/articles/glossary/normal …
https://atarimae.biz/archives/9850

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/08 22:37

x[i] (i=1,2,...,N)の平均をμ, 標準偏差をσ とすると、

　　μ = (1/N) Σ{i=1〜N} x[i]
　　σ^2 = (1/N) Σ{i=1〜N} (x[i]-μ)^2
でしょ。で、「平均との差を標準偏差で割」ったもの
　　y[i] = (x[i] - μ)/σ
の平均をm, 標準偏差をsとすると、
　　m = (1/N) Σ{i=1〜N} y[i]
　　　= (1/N) Σ{i=1〜N} ((x[i] - μ)/σ)
　　　= (1/σ)(1/N) Σ{i=1〜N} (x[i] - μ)
　　　= (1/σ)(1/N) ( (Σ{i=1〜N} x[i] ) - (Σ{i=1〜N} μ ) )
　　　= (1/σ)(1/N) ( (Σ{i=1〜N} x[i] ) - (μ Σ{i=1〜N} 1 ) )
　　　= (1/σ)(1/N) ( (Σ{i=1〜N} x[i] ) - μN )
　　　= (1/σ) ( ((1/N)Σ{i=1〜N} x[i] ) - μ )
　　　= (1/σ) ( μ - μ ) = 0
　　s^2 = (1/N) Σ{i=1〜N} (y[i]-m)^2
　　　= (1/N) Σ{i=1〜N} y[i]^2
　　　= (1/N) Σ{i=1〜N} ((x[i] - μ)/σ)^2
　　　= (1/(σ^2))((1/N) Σ{i=1〜N} (x[i] - μ)^2)
　　　= (1/(σ^2))(σ^2)
　　　= 1

この回答へのお礼

= (1/σ)(1/N) ( (Σ{i=1〜N} x[i] ) - (Σ{i=1〜N} μ ) )
　　　= (1/σ)(1/N) ( (Σ{i=1〜N} x[i] ) - (μ Σ{i=1〜N} ★1 ) )
　　　= (1/σ)(1/N) ( (Σ{i=1〜N} x[i] ) - μN )
　　　= (1/σ) ( ((1/N)Σ{i=1〜N} x[i] ) - μ )
　　　= (1/σ) ( μ - μ ) = 0

★1がどっから出て来たかわかんないです…

お礼日時：2021/11/10 20:23