数学 線形代数 対角化

以下の問題が解けないので教えてほしいです．
(1)は固有値が２と‐１になると思いますが，ｰ１の時に固有ベクトルがx＝a(aは実数)，y＝０になると思うのですが，この表現方法は適切でしょうか．(もし適切であれば，(2)の問題は対角化してA^nを求めてn=10を代入すればよいのですが・・・)
(3)については（ケーリー・ハミルトンの定理を用いるのかなと考えたのですが）検討が付かないので途中式も詳しくお願いしたいです．

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/22 07:35

(1)

1
0
で充分です。

(2)
固有ベクトル(縦ベクトル)を横に並べてできる行列をＰとすると

D=Ｐ^(-1)AＰ
で対角化できます。

A^n={PDP^(-1)}^n=PD^nP^(-1)

(3)
(2)の式は実はnが整数でなくても成り立ちます。

n=1/3 で計算しましょう。

この回答へのお礼

ご丁寧な解答ありがとうございます．
A^nの時は，毎回整数倍の問題しか解いたことなかったので，その固定観念にとらわれてました．

お礼日時：2021/11/22 13:21

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/22 12:50

補足しとくと、対角化行列

a 0
0 b

のn乗は

a^n 0
0 b^n

だから

a^(1/3) 0
0 b^(1/3)

の3乗は

a 0
0 b

だから

Q = PD^(1/3)P^(-1)
とすると
Q^3 =PDP^(-1) =A

この回答へのお礼

理解しやすいように補足してくださりありがとうございます．
No1の方の答えと合わせて，すんなり理解することができました．

お礼日時：2021/11/22 13:23