大学の微積の条件付き極値問題です。 次の問題を教えてください。 半径rの円に内接する三角形の面積のと

大学の微積の条件付き極値問題です。
次の問題を教えてください。

半径rの円に内接する三角形の面積のとりうる値の最大値を求めよ

質問者からの補足コメント

• すいません。
  内接三角形の3辺の中心角をx,y,2π-x-yとします。

    補足日時：2021/11/29 00:29

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/12/01 01:40

質問文を全部無視してやりたいようにやってみる試み.

まず「二等辺三角形でなければならない」ことはすぐわかるので 3つの角を x, x, π-2x とおく. このとき 3辺の長さは 2r sin x, 2r sin x, 2r sin (π-2x) = 4r sin x cos x だから三角形の面積は
S(x) = 4r^2 sin^3 x cos x.
x に依存する部分を f(x) = sin^3 x cos x とおいてやると
[3f(x)]^(1/2) = [(sin^2 x)^3 (3 cos^2 x)]^(1/4) ≦ (1/4)(3 sin^2 x + 3 cos^2 x) = 3/4
で等号が成り立つのは sin^2 x = 3 cos^2 x より 4 cos^2 x = 1 だから cos x = 1/2, つまり x = π/3 だから正三角形でそのとき面積の最大値は
S(π/3) = (3√3/4) r^2.

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/29 09:15

No.1訂正。

間違えちゃったす。

A=(r, α), B=(r, β) （0＜α＜β＜2π）として、
　　S = (r^2)(sinα + sin(β-α) - sinβ)

でした。あとは一緒。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/29 07:07

中心角をx,y,2π-x-yとすると条件付きにならず、2変数の極値問題

となる。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/28 23:41

３角形の頂点をA,B,Cとし、この３角形が円の中心Oを含むとする。

角AOB, BOC, COA をそれぞれ、a,b,c とする。
すると３角形AOB, BOC, COAの面積はそれぞれ
　rcos(a/2)・rsin(a/2)=(r²/2)sin a
同様に
　(r²/2)sin b , (r²/2)sin c
となる。

すると３角形ABCの面積Sは
　S(a,b,c)=(r²/2)(sin a+sin b+sin c)・・・・・①
となる。当然、
　G(a,b,c)=a+b+c=2π・・・・・・②
である。ラグランジュにより
　Sa-λGa=(r²/2)cos a-λ=0
　Sb-λGb=(r²/2)cos b-λ=0
　Sc-λGc=(r²/2)cos c-λ=0
したがって
　cos a=cos b=cos c → a=b=c
②に入れて
　a=b=c=2π/3
①から
　S=(r²/2)3sin2π/3=3(√3)r²/4

なお、この３角形が円の中心Oを含むとしたが、含まない場合、１つ
の角が180゜より大きくなり、マイナスとなり、他の３角形の和から
余分の３角形の面積を引いて、ちょうど求める面積になっている。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/28 23:36

素直に円の中心を原点とする極座標(R,θ)を考えて、点Cの座標を(R,θ)=(r,0)とする。

で、点Cと点A=(r,2α)、点B=(r,2β)（0＜α＜β＜π）が作る三角形の面積Sは、ちょっと絵を描いてみればわかる通り
　　S = (r^2) (sinα + sin(β-α) + sin(π-β))
というわけで
　　∂S/∂α=0
　　∂S/∂β=0
の連立方程式を解けばよし。「条件付き」と仰るのは0＜α＜β＜πのことかな？