整数問題

整数問題の解き方を教えてください。
a，b，c を実数の定数としてf( x )= x^3 + ax^2 + bx + cとおくとき、(1)、(2)を示しなさいという問題です。

⑴　f( - 1 )、f( 0 )、f( 1 ) がすべて整数ならば任意の整数 n に対して f( n ) は整数
⑵　連続する 3 つの整数に対して、 f( x ) がすべて整数ならば、任意の整数 n に対して
f( n ) は整数

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/29 20:46

f(x)=x^3+ax^2+bx+c

(1)
f(-1)=-1+a-b+c
f(0)=c
f(1)=1+a+b+c
が
全て整数だから
f(1)-f(0)-1=a+b
は整数
f(-1)+f(1)-2f(0)=2a
は整数
だから
任意の整数
n
に対して

f(n+1)-f(n)
=(n+1)^3-n^3+a(n+1)^2-an^2+b(n+1)-bn
=3n^2+3n+1+(2a)n+(a+b)
は
整数
だから

任意の整数
n
に対して
f(-n-1)-f(-n)
も整数

f(0),f(1),f(-1)は整数
ある整数n≧1に対してf(n),f(-n)が整数と仮定すると

f(n+1)-f(n)が整数だから
f(n+1)={f(n+1)-f(n)}+f(n)
も整数

f(-n)-f(-n-1)が整数だから
f(-(n+1))={f(-n-1)-f(-n)}+f(-n)
も整数

だから
任意の整数n≧1に対してf(n),f(-n)は整数

だから
任意の整数nに対してf(n)は整数

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/01/28 18:16

a, b, c の条件を導けば何とでもなる.

というか「a, b, c の条件を導く」ことを思いつけないんだとしたらちょっと問題.