画像の赤い下線部の式に関して、なぜv=(-2,11)の時赤い下線部の式は成り立たないとわかったのでし

Question

画像の赤い下線部の式に関して、なぜv=(-2,11)の時赤い下線部の式は成り立たないとわかったのでしょうか？
正規直交基底を表す1と導かれなかったためでしょうか？

mtrajcp · Accepted Answer

f(x)=a0+a1(cosx)+b1(sinx)+…を導く上で

f=a1e1+…+anen
は
必要ないのです
作る必要はありません
不要なのです

{1/2,cos(nx),sin(nx)}
と
{1,cos(nx),sin(nx)}
は
両方共に直交基底だけれども
正規直交基底ではありません
だから
正規直交基底からフーリエ級数の式が導けるという考えが間違っているのです
{e1,…,en}等
フーリエ級数の式を導くためには必要ないのです

与えられた
任意の区分的連続関数
f(x)から
f(x)の
フーリエ級数展開を導くのです
だから
f(x)は区分的連続関数であれば何でもよいのです

「
定理)
2πを周期とする区分的連続周期関数f(x)について

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}

a(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(nx)dx  (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)sin(nx)dx  (n=1,2,…)
が成り立つ
」
から
a(0)/2が出てきたのです

mtrajcp · Answer

フーリエ級数展開の式の初項は
a0/2
でも
a0
でもどちらでもよいのです

a0/2
としているのは

n=1,2,3,…
に対して
an=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(nx)dx
と求めているから
これに合わせて
a0=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(0x)dx
としているため
a0/2
となるのです

{1,cosx,sinx,…}からフーリエ級数展開を導くのではありません
f(x)からフーリエ級数展開を導くのです
f(x)
から
n=1,2,3,…
に対して
an=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(nx)dx
bn=(1/π)∫_{-π～π}f(x)sin(nx)dx
で
n=0に対しては
a0={1/(2π)}∫_{-π～π}f(x)dx
とすれば

f(x)=a0+a1(cosx)+b1(sinx)+…

となるのです

{e1,e2}は2次元ベクトル空間R^2の基底であって
e1はベクトルで
e2もベクトルです
が
フーリエ級数展開を行う関数空間C(-π,π)とは何の関係もありません
全然別の空間の話を持ち出して
混同しないで下さい

mtrajcp · Answer

6
フーリエ級数展開は
(正規直交であろうとなかろうと)基底から
導くのではありません

任意の関数fに対して
f(x)=a0+a1(cosx)+b1(sinx)+…
となるような
係数a0,a1,b1,…
を求めることをフーリエ級数展開というのです
基底{1,cosx,sinx,…}から導くのではありません
f(x)と{1,cosx,sinx,…}から係数a0,a1,b1,…を求めるのです

フーリエ級数展開とは
任意の関数を
3角関数{cos(nx),sin(nx)}等に適当な係数をかけた級数に展開することなのです
{cos(nx),sin(nx)}
は基底である必要はあるけれども
正規直交である必要は全くありません
正規直交であれば展開の仕方が一意になるだけのことです

8
作るのではありません

フーリエ級数展開とは
任意の関数f(x)を
3角関数{cos(nx),sin(nx)}等に適当な係数をかけた級数
の
和
f(x)=a0+a1(cosx)+b1(sinx)+…
に
変形するのです

mtrajcp · Answer

直交基底や非正規直交基底から
フーリエ級数展開はつくるのではありません

フーリエ級数展開とは
任意の関数を
3角関数{cos(nx),sin(nx)}等に適当な係数をかけた級数に展開することなのです
{cos(nx),sin(nx)}
は基底である必要はあるけれども
正規直交である必要は全くありません
正規直交であれば展開の仕方が一意になるだけのことです

作るのではありません
変形するのです

mtrajcp · Answer

違います ||f||=√(∫[-π, π]({f(x)}^2)dx) は内積の式ではありません間違いです ||f||=√(∫[-π, π]({f(x)}^2)dx) は [-π, π]上の関数空間 C[-π, π]={f:[-π, π]→R,は連続} のノルムです llp||_2=√{p(1)^2+p(2)^2+p(3)^2+…} は収束する数列空間 X={p:N→R,√{p(1)^2+p(2)^2+p(3)^2+…}は収束} のノルムです全く違う空間の別のノルムなので代入等ナンセンス(無意味)なのです <λx, z>=λ が成り立つのは内積の定義なのです成り立たなければ内積ではありません

mtrajcp · Answer

1
違います間違いです
(f(x),g(x))=(∫[-π, π){f(x)・g(x)}dx)
ではありません
(f,g)=∫[-π,π]f(x)g(x)dx
と書くのです

(f,g)=∫[-π,π]f(x)g(x)dx
は
0になるとは限りません
f,gがどんな関数なのかによって
どんな値にもなりえます

2
違います間違いです
(f(x),g(x))=(∫[-π, π){f(x)・g(x)}dx)
ではありません
(f,g)=∫[-π,π]f(x)g(x)dx
と書くのです
(f,g)=∫[-π,π]f(x)g(x)dx=||a||^2と置けません

3
違います間違いです
{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くのではありません
単に
cos(nx)=e{2n-1}(x)
sin(nx)=e{2n}(x)
という関数の名前をつけただけで何も導いてはいません
したがて何もわかりません

4,
内積をどのように定義するのか
内積が定義されていないので正しくありません

5
フーリエ級数展開を正規直交基底から導くのではありません
フーリエ級数展開は正規直交基底とは関係なくできます

mtrajcp · Answer

違います
e1=(4/5,3/5)
e2=(-3/5,4/5)
だから
(e1,e1)=(4/5)^2+(3/5)^2=1
(e2,e2)=(3/5)^2+(4/5)^2=1
(e1,e2)=(-3/5)(4/5)+(3/5)(4/5)=0
だから
{e1,e2}は正規直交基底と言えるのです

{e1,e2}のe1=(4/5,3/5)はベクトルです
{e1,e2}のe2=(-3/5,4/5)はベクトルです

e1=(4/5,3/5)
e2=(-3/5,4/5)
の時
任意のv∈R^2に対して
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立つと言っているのです

座標(-2,11)は導かれるのではありません

任意のv∈R^2に対して
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立つのだから

v=(-2,11)の時も当然
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立つと言っているのです

e1=(4/5,3/5)
e2=(-3/5,4/5)
だから
|e1|=√(e1,e1)=√{(4/5)^2+(3/5)^2}=1
|e2|=√(e2,e2)=√{(3/5)^2+(4/5)^2}=1
となるのです

R^2の2つの要素(ベクトル)からなる有限部分集合
{e1,e2}
に対して
(e1・e1)=|e1|^2=1
(e2・e2)=|e2|^2=1
(e1・e2)=0
となる時
{e1,e2}はR^2の正規直交基底となるのです

任意のR^2の要素(ベクトル)
v∈R^2
に対して
v=a1e1+a2e2
となるような
実数a1∈R,実数a2∈Rが存在する時
{e1,e2}はR^2の基底というのです
{e1,e2}はR^2の基底だから
任意のR^2の要素(ベクトル)
v∈R^2
に対して
v=a1e1+a2e2
となるような
実数a1∈R,実数a2∈Rが存在するのです
だから

vとe1の内積は
(v,e1)=(a1e1+a2e2,e1)
(v,e1)=a1(e1,e1)+a2(e2,e1)
↓(e1,e1)=1,(e2,e1)=0だから
(v,e1)=a1

vとe2の内積は
(v,e2)=(a1e1+a2e2,e2)
(v,e2)=a1(e1,e2)+a2(e2,e2)
↓(e1,e2)=0,(e2,e2)=1だから
(v,e2)=a2

v=a1e1+a2e2
↓a1=(v,e1),a2=(v,e2)だから
∴
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2

vの式から(-2,11)と導かれるのではありません

任意のv∈R^2に対して
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立つのだから

v=(-2,11)の時も当然
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立つと言っているのです

mtrajcp · Answer

違います
e1=(4/5,3/5)
e2=(-3/5,4/5)
とすれば
vの式は1と導けるのではありません

e1=(4/5,3/5)
e2=(-3/5,4/5)
とすれば
(e1,e1)=1
(e2,e2)=1
(e1,e2)=0
となって
{e1,e2}が正規直交基底となるのです

(a,a)のaは数値ではありませんベクトルです

e1,e2は数値ではありませんベクトルです

(-2,11)の-2,11は座標です
e1,e2には関係ありません

e1=(4,3)
e2=(-3,4)
から
|e1|=√(4^2+3^2)=5
|e2|=√(3^2+4^2)=5
だから
e1/|e1|=(4/5,3/5)
e2/|e2|=(-3/5,4/5)
だから
e1=(4/5,3/5)
e2=(-3/5,4/5)
に変更すれば
|e1|=1
|e2|=1
になるから
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が
成り立つのです
vの式は=1にはなりません

v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が
成り立つかどうかを問題にしているのです

mtrajcp · Answer

赤い下線部の式は成り立たないのではなく
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立たないといっているのです

v=(-2,11)
(v,e1)e1+(v,e2)e2=(-50,275)

v=(-2,11)≠(-50,275)=(v,e1)e1+(v,e2)e2
v≠(v,e1)e1+(v,e2)e2
だから
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立たないといっているのです

e1=(4,3)
e2=(-3,4)
だから
e1とe1の内積
(e1,e1)=((4,3),(4,3))=4^2+3^2=16+9=25≠1
e1とe2の内積
(e1,e2)=((4,3),(-3,4))=-12+12=0
e2とe2の内積
(e2,e2)=((-3,4),(4,3))=4^2+3^2=16+9=25≠1
だから
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立たないといっているのです
--------------------------------------------------
e1=(4/5,3/5)
e2=(-3/5,4/5)
とe1,e2を変更すれば、

(v,e1)e1+(v,e2)e2
=(-2・4/5+11・3/5)(4/5,3/5)+(-2(-3/5)+11(4/5))(-3/5,4/5)
=5(4/5,3/5)+10(-3/5,4/5)
=(4,3)+(-6,8)
=(-2,11)
=v

v=(v,e1)e1+(v,e2)e2
が成り立つ

画像の赤い下線部の式に関して、なぜv=(-2,11)の時赤い下線部の式は成り立たないとわかったのでし

f(x)=a0+a1(cosx)+b1(sinx)+…を導く上で

フーリエ級数展開の式の初項は

6

直交基底や非正規直交基底から

違います

1

違います

違います

赤い下線部の式は成り立たないのではなく

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