環論

AをUFD,f(x)をA係数の一変数多項式とする。
このとき次の1,2は同値である
1.f(x)が原始多項式
2.pがAの任意の素元の時,f(x)をpを法として考えた多項式は零でない

この上の命題をどなたか教えてほしいです。この命題自体は,青雪江の63ページに載っています。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/12 20:35

AをUFD,f(x)をA係数の一変数多項式とする

f(x)=Σ_{k=0～n}a(k)x^k
となるような
{a(k)}_{k=0～n}⊂A
がある

すべての係数の最大公約元が単元に等しい多項式を原始多項式という

(1→2)
2でないとすると
Aのある素元pが存在して,f(x)をpを法として考えた多項式が零だから
f(x)=pg(x)
となるような
g(x)=Σ_{k=0～n}b(k)x^k
{b(k)}_{k=0～n}⊂A
がある
f(x)=Σ_{k=0～n}pb(k)x^k
の
すべての係数{pb(k)}_{k=0～n}の最大公約元は素元pの倍数で単元でないから
f(x)は原始多項式でないから
1でないから
(1→2)が成り立つ

(2→1)
1でないとすると
f(x)が原始多項式でないから
f(x)のすべての係数{a(k)}_{k=0～n}の最大公約元をdとすると
{a(k)=pb(k)}_{k=0～n}となるような
{b(k)}_{k=0～n}があるから
f(x)=Σ_{k=0～n}db(k)x^k
dは単元でないから
dの約元に素元pがあるから
d=pc
となるcがあるから
f(x)=pΣ_{k=0～n}cb(k)x^k
だから
f(x)=0(modp)
f(x)をpを法として考えた多項式が零となるから
2でないから
(2→1)が成り立つ