統計学の問題

連続確率変数 X の確率密度関数 fX(⋅) が以下のように与えられているとする。

fX(x)={x−1、1≤x<2
−x＋3、2≤x<3
0、otherwise.
この確率変数 X の期待値 E[X] を求めなさい

この問題がわからないです。どなたか教えていただけないでしょうか。

質問者からの補足コメント

• もしよければグラフを使った解き方も教えていただけませんか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/15 15:11

No.1 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/15 14:16

期待値は１次の積率。

E(g(X))＝∫g(X)f(X)dx

ここでg(X)はスコア関数と言いますが、今は横軸はリニアスケールなので、
g(X)＝X
です。

確率密度を持つ区間が２つに分かれているから、別々に積分して合算します。

グラフを描いた方が早い気がしますが、それじゃ解にならないので、愚直にやってみました。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/15 20:05

確率密度のグラフは、

・横軸１から右に45°の勾配で上昇し、横軸２まで進む。
・横軸２からはー45°の勾配で下降し、横軸３まで進む。
という左右対称形の底辺２高さ１の三角形になります。

そのとき、三角形の面積は１になります。
つまり、確率は面積で表されるので、全体では100％＝１となっているのです。

このグラフは、左右対称ですので、平均値と中央値は等しく、その対称線の箇所がそれらに対応します。それはX＝２です


ちなみに非対称のときは、
中央値は左右の面積が等しい点
平均値は左右のモーメントが等しい点（正確には全体のモーメントの力点）
になります。

１次の積率の意味は、Σ(０からの距離×出現頻度) というモーメントの総和です。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/15 14:18

質問消しても良いけど、ベストアンサー付けてから消してね。