２変数関数の最⼤・最⼩（実数解の条件を利⽤）

解き方がわかりません。

質問者からの補足コメント

• 画像付け忘れてました。

  
    補足日時：2022/07/25 16:44

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/26 08:39

解法③

No2解法①で
x+y=cosθ+sinθ=√(2)((1/√(2)cosθ+1/√(2)sinθ)
=√(2)sin(θ+π/4)
つまり振幅√(2)の正弦波だから
最大=√(2)、最小=-√(2)

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/25 19:52

x^2+y^2=1

x=cosθ
y=sinθ
となるθがある

x+y
=sinθ+cosθ
=(√2){(sinθ)(1/√2)+(cosθ)(1/√2)}
=(√2){sinθcos(π/4)+cosθsin(π/4)}
=(√2)sin(θ+π/4)

-1≦sin(θ+π/4)≦1
↓各辺に√2をかけると
-√2≦(√2)sin(θ+π/4)≦√2
↓x+y=(√2)sin(θ+π/4)だから
-√2≦x+y≦√2

θ+π/4=π/2の時
θ=π/4
x=cos(π/4)=1/√2
y=sin(π/4)=1/√2
の時
最大値√2

θ+π/4=-π/2の時
θ=-3π/4
x=cos(π/4)=-1/√2
y=sin(π/4)=-1/√2
の時
最小値-√2

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/25 19:06

解法①

x=cosθ、y=sinθとおいて
f(θ)=x+y=cosθ+sinθ
df/dθ=-sinθ+cosθ=0→θ=45°、225°が停留点
f(45°)=√(2)
f(225°)=-√(2)
なので最大=√(2)、最小=-√(2)

解法②

拘束条件をg(x、y)=x²+y²-1=0
h(x、y、λ)=x+y+λg(x+y)
とすると
∂h/∂x=1+2xλ=0
∂h/∂y=1+2yλ=0
λを消去すると
x=y
g(x、y)=0に入れると
x=y=±1/√(2)
が停留点
従って最大、最小は√(2)、-√(2)

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2022/07/25 18:19

線形計画法により

最大値√2,最小値-√2