QEDラグランジアンについて

QEDラグランジアン↓ですが、


https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/ren …

ラグランジアン（密度）はエネルギーの次元をもつ物理量なので、このQEDラグランジアンも計算していくと最終的に実数値になるべきものですよね。
これが実数値ではなく複素数になる場合はありますか？
あるいは実数値でも複素数値でもないベクトル量になるとしたら計算するまでもなく数式上の間違いといえますか？

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/04 13:00

一般論として、「一般良識を元に意図を解釈する」事が許されるのは、相手とその一般良識が共有できていると【分かっている】時です。

回答する側は「質問者が貴方の言う一般良識を持ってるかどうか」は全く知りません。質問内容から推測するしかないのだけど、貴方については「エネルギーの次元だから実数」の件から、共有できているかはグレーゾーンだと判断しました。例えばハミルトニアンの非対角成分が複素数になることって普通にあったはずだし。

ベストな方法ではないかもしれないけど、こう言う時には勝手に意図を解釈しないようにしているんですよ。もしもその解釈が質問者の意図と違ったらその事に気付くのはかなり大変なので。
そこで#4では
字義通りに解釈した問いに対する答えと、
貴方の言う一般良識に基づて解釈した、値域が実数かどうか(実数場かどうか)に対する答え
を併記した訳です。後半は貴方の意図を汲めていたと思うのですが、一体何が不満だったのですか？

貴方の意図を汲めていなかった方はそう言う意味ではない、で終わる話というつもりでしか書いてないのですが、汲めていた方は完全スルーで汲んでいなかった方に拘る理解がさっぱり分かりません。

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/04 10:24

言葉の定義の問題だろうけど、

各点ごとに様々な値を取る関数なので、1つの実数を表す量ではない、という事しか言ってません。
値域についての話だったのだろうけど、それについては既に書いた通りです。

この回答へのお礼

＞言葉の定義の問題だろうけど、

こんなのにこだわるとスカラー場の値はスカラーではないってゆーバカバカしい話が生まれてきます。

これは言葉の定義の問題などではございません。
一般良識の問題ですよ。
これを超えると単にバカバカしい話が生まれるだけです。

お礼日時：2022/09/04 10:52

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/03 21:50

> ラグランジアン密度には4次元時空上の1点を指定する空間座標μ、νをパラメーターとして指定します。

>パラメーターとしてμ、νを指定したらラグランジアン密度はどんな値になりますか？

仰る意味が分かりません。
4次元時空上の1点を指定するには、t,x,y,zの4つの値が必要です。なぜμとνの2つなのですか？しかも普通のノーテーションでは0から4の値をとるパラメータなので16通りの組み合わせしか表現できませんが？

また、例えば「スカラー場φに対して、パラメータとしてμ,νを指定したらどんな値になる？」と聞いたらどんな返事になりますか？(スカラー場ではこのような問いに意味がないのならそう言う返事でも良いですが、可能であればスカラー場やパラメータの数を変えるなどして意味のある問いに変えて下さい)


あと、L_QEDは
ψbar (ディラック方程式の左辺) - Fのみの項
の形である事、Fは実数場である事を踏まえると、
「ラグランジュ方程式の解(特にディラック方程式の解)のみを考える」事を想定していたのなら、L_QEDは各点で実数にはなりますね。

この回答へのお礼

No.4の回答で、

＞ラグランジアン密度は場なので「1個の実数値」を表すような量ではありません。

この考えに従うと、
「温度場は場なので「1個の実数値」を表すような量ではありません。」
「圧力場は場なので「1個の実数値」を表すような量ではありません。」
なんてことになるが何か変だとは思わない？

お礼日時：2022/09/03 23:04

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/03 20:19

> 最終的には1個の実数値を取るんですよねと訊いているのです。

ではNoですね。ラグランジアン密度は場なので「1個の実数値」を表すような量ではありません。

実数場という条件を課して変分を取ったりもしてませんね。

この回答へのお礼

ラグランジアン密度には4次元時空上の1点を指定する空間座標μ、νをパラメーターとして指定します。
パラメーターとしてμ、νを指定したらラグランジアン密度はどんな値になりますか？

お礼日時：2022/09/03 20:28

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/03 18:10

失礼、QEDは電子場を量子化する前なので、演算子だからというのは正しくなかったですね。

> ラグランジアン＝運動エネルギー ー　ポテンシャルエネルギー
そんな話を持ち出す意図がわかりませんが、結局の所は「貴方がラグランジアンと呼んでいるものが実数だから」という理由で、「ラグランジアンと名付けた量は常に実数でなければいけない」とお考えだという事ですか？

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/03 15:39

>その値が3+5iのエネルギーってどんなエネルギー？

出てきた状況次第なので、それが出てきた前後の文脈を明記して下さい。

そもそも「次元がエネルギーの物理量」についての話だったからそれを前提に回答したのですが、どうして「エネルギー」に限定した話にすり替えるのですか？

この回答へのお礼

ラグランジアン力学によると、
ラグランジアン＝運動エネルギー ー　ポテンシャルエネルギー
だからラグランジアンはエネルギーの一種と決まっている。

お礼日時：2022/09/03 16:20

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/03 14:26

エネルギーの次元だから実数であるべきという理屈が謎ですが、QEDのラグランジアンであるのなら演算子の一種なので、実数かどうかと論じる対象ですらない。

この回答へのお礼

＞エネルギーの次元だから実数であるべきという理屈が謎ですが、

では訊きます。
その値が3+5iのエネルギーってどんなエネルギー？

お礼日時：2022/09/03 14:54