0以上1以下の小数は無限に存在することは証明できますか？

0以上1以下の小数は無限に存在することは証明できますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/21 10:35

1で始まり比が 1/2 の等比数列は

0以上1以下に無限個の数を書き並べる一つの
手段になっている。

無限個の異なる数を書き並べる方法が有る以上
無限個あるといえる。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/21 17:00

「小数」という言葉の定義が不明瞭で、嫌な質問だなあ。

とりあえず、「小数」は有限小数の意味だと仮定してみる。
0以上1以下の有限小数全体からなる集合Sを考えると、
Sは実数の全順序が入った有限集合だから、最小値を持つ。
その最小値をｂと置き、 c=b/2 としよう。
ｃはｂ/2だから有限小数で表せるし、0<c<b<1でもあるから
Sの元である。しかし、c<bなので、これは
ｂがSの最小値であることに矛盾する。
よって背理法により、Sは有限集合ではない。

「小数」が実は有理数の意味であったり、実数の意味であった
場合にも、「0以上1以下の小数」の集合は上記のSを含むから
無限集合である。

No.3 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2022/09/21 13:24

無限が証明できないので無理

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/09/21 10:46

無限にあるなんらかの集合と

0以上1以下のそれぞれ異なる小数に
1：1の関係がみいだせればよいということです

ｎ∈Ｚ　ｎ＞1
と　1/ｎ　として、
0≼1/ｎ≼1　である
ことを確認するとかが楽そうですね