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nは正の整数であり、偶数。
n(n+1)(n+2)(n+3)は素因数が3つ。
nを求めよ。

という問題にとても興味をひかれ、考えてみました。というのもなぜかと申しますと、双子素数の問題が解決していないのに解けるはずがないといういつものトンデモと、まあ一応正解ではあるけど極めて迂遠で大変読みにくい回答が投稿されていて、なんとなく不憫に思われたからです。

私の考えは以下のとおりです。
あっていますでしょうか?

素因数のうち2つは2と3で残り1つは5以上。よってnからはじまる連続4整数のうち3つは2^a3^bの形で、そのうち4の倍数は高々1つ、9の倍数も高々1つ。
∴ n≦6
6・7・8・9 →○
4・5・6・7 →×
2・3・4・5 →○

これだけのことですよね?

A 回答 (8件)

確かにこれなら相当手間が省けるし、nを偶数に限る必要もないねぇ!


実際3、4、5、6の場合含まれる素因数が2,3,5の3つ。
こうなるとnを偶数に限っている出題者の意図は何なんだ?笑。

勉強になりました。ありがとうございました。
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なるほど、こういうことでしょうか?


3個の2^a3^bの形の整数のうち
a≧2のものが1個あっても他の2個のaは≦1
その2個のうちの1個のbが≧2であっても他の1個のbは≦1でなければ
いけないから、すくなくともこの3個のうちひとつはa≦1かつb≦1
これはこの3個のうちb≧2のものがあっても同じ事情。
いずれにしても3個のうち1つはかならずa≦1かつb≦1
したがってnは2^1かける3^1=6をこえられない。
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この回答へのお礼

それな

そうです。

お礼日時:2022/10/06 19:28

前の続き


いま、n以外の2数でpを素因数に持たないものをm、ℓとすれば
n<m、ℓ・・・②
さてnの素因数3が2以上のべきを持つならば
前回答①によって、m、ℓの3のべきは1以下
であり、nは偶数で≧2*(3のの2乗)=18だから②により
m、ℓの2のべきは≧2
これは同①に反するからnの3のべきは1以下でなくてはならない。
つぎにnの3のべきが1でかつ2のべきが2以上ならば
同①によりm、ℓの2のべきは1以下、
一方、n≧12だから②からm、ℓの3のべきは2以上
これは同①に反する。
最後に、nが2のみの素因数を持ってそのべきが3以上ならば同①より
m、ℓの2のべきは1以下でn≧8だから②よりm、ℓの3のべきは2以上、
これは同①に反する。
以上からn≦6でなければいけない。
     ・・・・・

とまあ、主さんの提案からn≦6にいたるまで
凡才の僕はこれだけの行を埋めなければならないんです。
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この回答へのお礼

どう思う?

mtrajcpさんも元の質問で似たような回答をされていましたし、こう考えたくなる気持ちも理解はできます。
しかし、無駄に詳細なだけな気がしてなりません。

nの素因数分解に深入りせず、
連続する4個の整数のうち2^a3^bの形をしたものが3個で、
そのうち2^a3^b(a≧2またはb≧2)は多くとも2個だと分かった時点で
n,n+1,n+2,n+3のうちの最小のもの(=n)が6以下だと頭を切り替えた方が簡単で早い気がしますが、
いかがでしょうか?

お礼日時:2022/10/06 13:29

連続する4つの自然数のなかには2の倍数と3の倍数が必ず存在する。


また連続する4つの自然数のなかに4以上の整数の倍数になるものは
2つとは存在しえない。・・・①
これをおさえといて問題に入る。
問題の4数の積n(n+1)(n+2)(n+3)は3つの素因数を持つから
①によって2、3以外の3つ目の素因数をpとすればp≧5なので
①によってn、n+1、n+2、n+3のうちpを素因数に持つものは1つで
他の3つは2や3以外の素因数を持たない。
かりに、nがpを素因数に持てば条件よりn+1、n+3は奇数だから
それぞれは3のべき乗の形でn+1>5だからn+1の3のべきは2以上
したがってn+3の3のべきも2以上、ゆえにn+1とn+3は
ともに9で割り切れる。これは①と矛盾するので
nはpを素因数に持ちえない。nは2のべき乗×3のべき乗の形になる。

つづく
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この回答へのお礼

うーん・・・

たしかにおっしゃるとおりnはpを素因数に持ちません。
そしてnの3のべきと2のべきを追求したくなる気持ちも分からなくはありません。


しかしこうやってnの形を見極めようとすると、かえって面倒じゃありませんか?



3つの素因数のうち2つは2と3で残り1つは5以上。
よってnからはじまる連続4整数のうち3つは2^a3^bの形で、そのうち4の倍数は高々1つ、9の倍数も高々1つ。
つまり、その3つのうち2^a3^b(a≧2またはb≧2)の形をしたものは高々2つ。
ということは、3つのうち2^a3^b(a≦1かつb≦1)の形のものが少なくともひとつあるはず。
したがって、n,n+1,n+2,n+3のうちに6以下のものがある。
よって、n,n+1,n+2,n+3のうち最小のもの(すなわちn)は6以下である。
∴ n≦6
6・7・8・9 →○
4・5・6・7 →×
2・3・4・5 →○


くどめに書けばこうなりますが、
これではダメなのでしょうか?

お礼日時:2022/10/06 13:20

いまさらだけど、主さんの指摘から


n(n+1)(n+2)(n+3)のnがせいぜい
2、3の素因数を1個ずつをもつ6より大きくなれないってことだな?
わかったような気がする。
も少し考えよう。
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N=n(n+1)(n+2)(n+3)



n=6のとき

N=6*7*8*9=2*3*7*2^3*3^2=2^4*3^3*7

素因数は
2,3,7

3
つだから
n≦6は間違いではないけれども
#1の方の通り
なぜ
n≦6
となるかの理由が無い
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n は偶数。

n, (n+1), (n+2), (n+3) の4つの中で、
n が2以上の偶数であれば (n+2) は 素数にはなり得ないから、
素数が 3つになるためには n=2 でなければならない。
(偶数で 素数になるのは 2 だけですから。)
従って n≦6 は 間違い。n=2 で 2, 3, 4, 5 しかありえない。
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その他に解が無いことを示さなければ、減点。


n≦6 の理由を書き忘れている。
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この回答へのお礼

・・・。

よくもまあノコノコと出てこられましたね。
今回ばかりはトンデモには発言権はないとお考えください。

お礼日時:2022/09/26 20:09

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