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合計が105になる連続する2個以上の正の整数の組み合わせは何通りあるか?
まず、1+2+3+.....+14=105を考える。(1通り)
14個の数字のうち2個ずつ組み合わて7個の和にするのは14C2で91通り。
同様にして14C3,14C4,14C5,14C6,14C7をそれぞれ計算して、
364,1001,2002,3003,3432(通り)
となるから1+91+364+1001+2002+3003+3432=9894(通り)
と考えたのですがどうでしょうか。考え方が間違えていたり、計算ミス
していたら教えてください。宜しくお願いします!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No. 1です。
解答に不備がありました。下記は足りない部分の追加です。n(2a + n - 1) = 2・3・5・7
を a について解くと
2a = 210 / n - n + 1
となります。問題の条件より a > 0 なので
210 / n - n + 1 > 0
です。これを解くと、
-14 < n < 15
です。したがって、可能な n の範囲は
2 <= n < 15
となります。このうち、210の素因数の組み合わせで得られるのは
n = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14
なので、求める組み合わせの個数は 7 です。
No.4
- 回答日時:
具体的に考えてみましょう。
例えば連続する2数の組み合わせであれば、105=52+53の1通りしかありません。
105は奇数なので、2で割ると52.5となりますので、その前後の2数の組み合わせしかないことになります。
連続する3数の組み合わせならどうか、105は3の倍数(105=35×3)なので、その前後の2数と合わせて105=34+35+36の1通りです。
以下同様に連続する4数ならば、105=26.25×4なので、この場合はありません。
(24+25+26+27=102、25+26+27+28=106です。)
これらのことから105を連続するN個の正の整数の和で表せるのは、
Nが偶数ならば105が奇数なので、105÷Nの小数部分が0.5である場合、
Nが奇数ならば105がNで割りきれる場合(この商が連続するN個の整数の真ん中の数)であることが分かります。そしてそれぞれのNについて、「合計が105となる連続するN個の整数」は1通りに決まります。またご指摘のように、105=1+2+3…14なので、Nの最大値はN=14です。
105=3・5・7なので、
Nが奇数の場合は、N=3,5,7の3通り
Nが偶数の場合は、N=2,6,10,14の4通りで、合計7通りです。
No.3
- 回答日時:
場合分け
連続する2個の整数 n+(n+1)=105 解くと n=52 ∴52,53
〃 3個 (n-1)+n+(n+1)=105 解くと n=35 ∴34,35,36
〃 4個 n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=105 整数解なし
〃 5個 (n-2)+(n-1+)n+(n+1)+(n+2)=105 n=21
∴ 19,20,21,22,23
〃 6個 n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+5)=105 n=15
∴ 15、16,17,18,19,20
〃 7個(n-3)+(n-2)+(n-1+)n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=105 n=15 ∴11,12,13,14,15,16,17,18,19
〃8個 n+(n+1)+・・・+(n+7)=8n+28=105となる整数解なし
〃9個 (n-4)+(n-3)+・・・+n+(n+1)+・・・(n+4)=9n=105となる 整数解なし
〃10個 n+(n+1)+・・・+(n+9)=10n+45=105 n=6
∴ 6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
〃11個 (nー5)+・・・+n+・・・(n+5)=11n=105となる整数解なし
〃12個 n+(n+1)+・・・(n+11)=12n+66=105となる整数解なし
〃13個 (n-6)+・・・+(n+6)=13n=105となる整数解なし
〃14個 n+(n+1)+・・・+(n+13)=14n+91=105 n=1
∴ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
以上 7通りをすべてあげてみました。
No.1
- 回答日時:
> 14個の数字のうち2個ずつ組み合わて7個の和にするのは14C2で91通り。
なぜこの組み合わせを考えるのですか?例えば、1と2, 3と4,...と組み合わせると、結果は 3, 7,... となります。これは連続する整数ではないのでは?
問題は、「aから始まる連続するn個(n>=2)の整数の和が105」になるような(a,n)の組の個数を求める、ということでしょう。解答は以下の通りです。(もし、自分で解いてみるということであれば、続きを見ずにがんばってみてください。)
「」部分を式にすると添付図のようになります。これを変形すると
n(2a + n - 1) = 2・3・5・7
となります。右辺は計算途中で出てくる210を素因数分解したものです。したがって、可能な n は 2^4 = 16 通りです。n に対して a は一意に定まるので、求める(a,n)の組の個数は16通りということになります。
![「場合の数」の回答画像1](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/e/17508669_5497dfff9f7e0/M.jpg)
この回答への補足
連続する、という部分を見落としてました。。
n(2a + n - 1) = 2・3・5・7
という式になるところまでは理解できました。
ですがnは16通りというのが理解できません。(頭の問題です、すみません)
自分の考え方は二つの積を作ればいいので4C2=6(通り)
また、4C3=4(通り)、210*1(1通り)という組み合わせもありなので
nは11通りと考えます。どのように考えて2^4=16通りとしたのか教え
て頂けませんか?
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