２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます

Question

２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。
毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます。

質問は、どちらかのビンが空になるのは、いつころと予測できますか？

kamiyasiro · Accepted Answer

私は、理論を考える前に、コンピュータシミュレーションで当たり付けをするタイプで、まずはやってみました。

1万回の試行で、16.478日目となりました。

プログラムは下記（Rです）

# 瓶が空になる日数

i <- 0
ans <- NULL

while(i < 10000){

x <- 10
y <- 10

for(j in 1:20){
k <- sample(1:2, 1)
x <- ifelse(k == 1, x - 1, x)
y <- ifelse(k == 2, y - 1, y)

if(x == 0 | y == 0) break
}

ans <- append(ans, j)
i <- i + 1

}

bins <- seq(9.5, 19.5, by = 1)
hist(ans, breaks = bins, xlim = c(9, 20))

mean(ans)

t_fumiaki · Answer

期待値の問題ですが、結構複雑。
袋の中に赤球10個、白球10個入れておき、n回試行した時に赤球が無くなる確率pを求め、n×pの期待値を合計する。
と言う問題に置き換えると上手く行くかもです。(白でも結果は同じです）

20回試行して赤が無くなる確率：当然1なので除外

19回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C9･19!/20P19＝9/20
18回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C8･18!/20P18＝9/38
17回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C7･17!/20P17＝4/38
16回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C6･16!/20P16＝14/323
・
・
10回試行して赤が無くなる確率
ここまで

19×(9/20)+18×(9/38)・・・・で計算すれば答。

面倒なのでこれでオシマイです。

kairou · Answer

最短で 10日後、最長で 19日後。
普通に考えたら

stomachman · Answer

瓶A, Bに薬がn個ずつ入っているとして、どっちの瓶を使ったかを毎日記録して、"A","B"の列を得たとしましょう。"A", "B"の並べ方の場合の数をNとすると、
　　N=(2n)Cn
　k日目にBの瓶が空になったとすると、その記録は「(k-n)個の"A"と(n-1)個の"B"がイロイロ並んだ列（長さk-1)の後ろに"B"を並べ、さらにその後ろに(2n-k)個の"A"を並べたもの」になっている。「(k-n)個の"A"と(n-1)個の"B"がイロイロ並んだ列」の場合の数をM(k)とすると
　　M(k)=(k-1)C(n-1)
なので、丁度k日目にBの瓶がカラになる確率は M(k)/N。だからk日目にAの瓶がカラになる確率もM(k)。というわけで、k日目にどっちかがカラになる確率P(k)は
　　P(k) = 2M(k)/N
kの期待値は
　　ΣkP(k)  (ただしk=n 〜 2n-1)
　　= (2n/N)ΣkCn
　　= 2(n^2)/(n+1)
n=10の場合なら 200/11 ≒ 18.2
　いや、ま、計算間違いしてるかも。

t_fumiaki · Answer

No.1続き

エクセルで計算して見ました。
考え方は同じです。

19回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C9･19!/20P19    0.5
18回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C8･18!/20P18    0.23684211
17回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C7･17!/20P17    0.10526316
16回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C6･16!/20P16    0.04334365
15回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C5･15!/20P15    0.01625387
14回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C4･14!/20P14    0.00541796
13回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C3･13!/20P13    0.00154799
12回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C2･12!/20P12    0.00035724
11回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C1･11!/20P11    0.00005954
10回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C0･11!/20P10    0.00000541

これに、各試行回数を掛けて合計します。
19日掛る確率が0.5なので、9.5日
18日掛る確率が 0.23684211なので、4.26315798日

と言う具合にして全部足すと、16.59090938日

結果：16.6日

t_fumiaki · Answer

No.5ですが、エクセル手計算でやってるので、誤差は、No.4様の16.478日目の方が少ないですね。

考え方はドッチも同じです。

kamiyasiro · Answer

#4のシミュレーションをやった者です。

数値解にチャレンジしようと思っていたら、#5さんから納得いく正解が出てしまったので、降参します。

既に#1で出ていたんですね。すばらしい。

qas2021 · Answer

k日目にビンが空になる確率は
2・ₖ₋₁C₉・1/2^k
(k = 10, 11, …, 19）
だから、期待値は、
Σ k・2・ₖ₋₁C₉・1/2^k = 16.47606
になると思います。

qas2021 · Answer

No.8 です。

正確には
20・(1 - 20!/(10!)^2/2^20) = 1079775/65536
となるそうです。

https://www.wolframalpha.com/input?i=20+%281+-+20%21%2F10%21%5E2%2F2%5E20%29&lang=ja

kairou · Answer

＞無理すれば（１０＋１９）÷２＝１４．５　　平均１４/１５日とも考えられます。

NO2 です。
ミスで 途中で送信してしまいました。
「普通に考えたら」そんな単純ではないですよ。
下記のような意味の事を書くつもりでした。

10日で 空になるのは 1通りしかありません。
11日で 空になるのは、その何処かに他のビンが入るので、 
10日の9倍通り あることになります。
12日で空になるのは 11日の 9倍になるのでは。

２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。 毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます

期待値の問題ですが、結構複雑。

最短で 10日後、最長で 19日後。

瓶A, Bに薬がn個ずつ入っているとして、どっちの瓶を使ったかを毎日記録して、"A","B"の列を得たとしましょう。

私は、理論を考える前に、コンピュータシミュレーションで当たり付けをするタイプで、まずはやってみました。

No.1続き

No.5ですが、エクセル手計算でやってるので、誤差は、No.4様の16.478日目の方が少ないですね。

#4のシミュレーションをやった者です。

k日目にビンが空になる確率は

No.8 です。

＞無理すれば（１０＋１９）÷２＝１４．５ 平均１４/１５日とも考えられます。

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＞無理すれば（１０＋１９）÷２＝１４．５　　平均１４/１５日とも考えられます。