２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。 毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます

２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。
毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます。

質問は、どちらかのビンが空になるのは、いつころと予測できますか？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/15 16:31

瓶A, Bに薬がn個ずつ入っているとして、どっちの瓶を使ったかを毎日記録して、"A","B"の列を得たとしましょう。

"A", "B"の並べ方の場合の数をNとすると、
　　N=(2n)Cn
　k日目にBの瓶が空になったとすると、その記録は「(k-n)個の"A"と(n-1)個の"B"がイロイロ並んだ列（長さk-1)の後ろに"B"を並べ、さらにその後ろに(2n-k)個の"A"を並べたもの」になっている。「(k-n)個の"A"と(n-1)個の"B"がイロイロ並んだ列」の場合の数をM(k)とすると
　　M(k)=(k-1)C(n-1)
なので、丁度k日目にBの瓶がカラになる確率は M(k)/N。だからk日目にAの瓶がカラになる確率もM(k)。というわけで、k日目にどっちかがカラになる確率P(k)は
　　P(k) = 2M(k)/N
kの期待値は
　　ΣkP(k) (ただしk=n 〜 2n-1)
　　= (2n/N)ΣkCn
　　= 2(n^2)/(n+1)
n=10の場合なら 200/11 ≒ 18.2
　いや、ま、計算間違いしてるかも。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
まず＜k日目にBの瓶が空になったとすると、その記録は「(k-n)個の"A"と(n-1)個の"B"がイロイロ並んだ列（長さk-1)の後ろに"B"を並べ、さらにその後ろに(2n-k)個の"A"を並べたもの」＞に還元してから進行するのですね。
私の頭では難しいですね。

お礼日時：2022/11/16 08:45

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/11/15 14:44

最短で 10日後、最長で 19日後。

普通に考えたら

この回答へのお礼

無理すれば（１０＋１９）÷２＝１４．５　　平均１４/１５日とも考えられます。

お礼日時：2022/11/15 15:54

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/11/15 13:38

期待値の問題ですが、結構複雑。

袋の中に赤球10個、白球10個入れておき、n回試行した時に赤球が無くなる確率pを求め、n×pの期待値を合計する。
と言う問題に置き換えると上手く行くかもです。(白でも結果は同じです）

20回試行して赤が無くなる確率：当然1なので除外

19回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C9･19!/20P19＝9/20
18回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C8･18!/20P18＝9/38
17回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C7･17!/20P17＝4/38
16回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C6･16!/20P16＝14/323
・
・
10回試行して赤が無くなる確率
ここまで

19×(9/20)+18×(9/38)・・・・で計算すれば答。

面倒なのでこれでオシマイです。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
視点を変えて＜と言う問題に置き換えると上手く行くかも＞ですね。
とはいえ、これからCやらPを復習しなければなりません。

お礼日時：2022/11/15 15:49