res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z) において、

f(z)=1/(z^2-1)はkが1なので、
かつ1/(z^2-1)の分母に含まれる変数zより、
z=1(z→1)とz=-1(z→-1)の二つの場合分けがある。
0<|z-1|<2と2<|-1-1|の場合わけとして、z=1or-1がありますが、

a(n)
=res(1/(z^2-1),1)
=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
(k=1の時)
=1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1) 1/(z^2-1)
=lim[z->1]1/(z+1)
と導けたのですが、正しいでしょうか？

そして、
(k=-1の時)
=1/(-1-1)! lim[z->1](d/dz)^(-1-1)(z-1)^-1 1/(z^2-1)
=lim[z->1]1/(-2)! (d/dz)^(-2) 1/(z+1)(z-1)^2
と導けたのですが、正しいでしょうか？



また、
要はk=1のような、f(z)=1/(z^2-1)のような式の時だけres (f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a]
(d/dz)^(k-1) (z-a)^kf(z)が使えるわけでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2022/12/03 08:29

単なる誤記とは思えないので、とりあえず中学・高校レベルの間違いだけ指摘しておく。

留数以前の問題。

> 0<|z-1|<2と2<|-1-1|の場合わけとして、
　　|-1-1| = |-2| = 2

> =lim[z->1]1/(-2)! (d/dz)^(-2) 1/(z+1)(z-1)^2
> と導けたのですが、正しいでしょうか？
　(-2)!
　負数の階乗は定義しない。

この回答へのお礼

ありがとうございます❗️

お礼日時：2022/12/03 20:21